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東大理系数学'97年前期[2]

東大理系数学'97年前期[2]

nを正の整数、aを実数とする。すべての整数mに対して、
が成り立つようなaの範囲をnを用いて表せ。

解答 状況設定が複雑な難問です。難問はすべてパスして構わない、と、強引なことをおっしゃる先生もいますが、どの問題も難問に見えてしまうときには、手をつけるしかありません。どうやって、アプローチして行くか考えてみましょう。
この問題がどうして難問になってしまうか、と言うと、
nが正の整数というだけで具体的な値が与えられていないことと、mが「すべての実数」ではなく「すべての整数」になっていることにあります。
そこで、まず、この嫌な条件設定をやめ、もう少し簡単になるように、
nに具体的な数を入れ、整数mではなく、実数xとして不等式を考えてみます。とすると、
 ・・・①
がすべての実数xに対して成り立つaの範囲を求めよ、という問題になります。
左辺を
xの関数とみて平方完成するのであれば(2次関数を参照)

ということになります。
本問に戻って、同じように、



すべての実数xについてとなる条件は、右辺の第2(とおきます)が正となることです。なので、
 ・・・②
nは正整数なので、より、
 ・・・③
という条件が得られます。
ですが、求める条件は、「すべての実数
xについて」となることではなく、「すべての整数mについて」となることです。
②の条件を考えたのは、の最小値だからです。が最小値をとるのは、のときです。
mを整数としての最小値を考える場合には、は整数とは限らないので、を満たす整数kに対して、のうちの小さい方を最小値としなければいけません。
ところで、は②の条件下で、
aが③の範囲の上限と下限の値に近づくときに次第に小さくなります。の最小値を考えるのでが最小になるところ、③の範囲の上限と下限においての最小を調べてみます。
のとき、を最小とするxの値は、 (整数)であって、最小値について、とすれば、 ・・・④ という条件が出てきます。
のときはは整数ではありません。
より、を満たす整数kです。の大小を比較すると、
より、
従って、最小値について、
 ・・・⑤
④,⑤より、
となります。

試験会場で実戦的には中間点狙いの上記くらいで充分だと思いますが、牽強付会の感は免れないので、厳格を期すのであれば、以下のようにします。

①の不等式を考える上で、もう一つ有効な手段があります。
定数の分離という技巧です。必ず成功するという保証はありませんが、本問では有効です。
①であれば、

(の場合)
などと変形して、がとり得る値の範囲を考えるのです。
nを正の整数、aを実数として、すべての整数mに対して、
となるのであれば、
 ・・・⑥
右辺の分子は、正負いずれの値もとります。mは整数で、 (は整数でない)となり得ないので、(i) (ii) ,と場合分けします。
(i) のとき、なので、
 ・・・⑦
のとり得る値を調べるために、関数を考えます。
 (商の微分法を参照)
また、より、
x


n
0×0
×

増減表より(関数の増減を参照)のとき、 (等号成立はのとき)
よって、⑦が成り立つために、 ・・・⑧
(ii) のとき、なので、
 ・・・⑨
(i)の増減表を利用すると、のとき、より、
(等号成立はのとき)
よって、⑨が成立するために、 ・・・⑩
⑧,⑩より、
......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2009/02/02(月) 15:08:25|
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東大理系数学'01年前期[1]

東大理系数学'01年前期[1]

半径rの球面上に4ABCDがある。四面体ABCDの各辺の長さは、
を満たしている。このときrの値を求めよ。

解答 文理共通の問題で、本当は中学生でも解答可能な易しい空間図形の問題なのですが、第1問に来ているので、気負って取り組み、空間座標を設定し出したりするとハマってしまうかも知れません。ベクトルの内積計算を利用するのも、かえって煩雑になります。
空間図形の入試問題は、真に空間的な思考力を必要とする難問もありますが、ほとんどの問題は、本問のように、対称性や切断面をうまく考えて解決できます。

本問では、四面体は
ABの中点とCDを通る平面に関して対称なので、この面で切った断面の二等辺三角形がどうなるかというところから考えればよいのです。
右図のような図が描けてさえしまえば、三平方の定理のみで解決できてしまいます。
半径
rの球面の中心をOとして、球面上に4ABCDがあるので、
 (右図赤線)
です。三角形OABは二等辺三角形なので、ABの中点をMとして、
三角形
OBMにおいて、三平方の定理より、
また、三角形ABCと三角形ABD3辺が等しく合同です。従って、
三角形CDMは二等辺三角形です。これより、CDの中点をNとして、
三角形
OCNに三平方の定理を適用すると、
また、三角形CMBに三平方の定理を適用すると、
三角形CMNに三平方の定理を適用すると、
より、

2乗して、

2乗して、

......[]


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  1. 2009/02/01(日) 17:23:08|
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東大理系数学'99年前期[6]

東大理系数学'99年前期[6]

であることを示せ。ただし、は円周率、は自然対数の底である。

解答 前半は平凡な部分積分の計算ですが、後半は、最近、東大前期でよく出題されている数値評価の問題になります。試験会場でいろいろなアイデアをひねり出せるようにしておくことが大切です。

 (半角の方式を参照)

 (部分積分法を参照)



よって、を示せばよいことになります。
まず、なので、ですが、

なので、なら示せますが、は示せません。
さりとて、より、

では、ですが、試験会場での手計算ではとても展望がありません。
そこで、いろいろと工夫が必要になるわけですが、以下に種々のアイデアを掲げておきます。

(1) 接線の利用
のグラフは下に凸で接線から上に来ることを利用します(曲線の凹凸を参照)
計算しやすい値が出てくるように、におけるの接線を考えると、より、
においては、のグラフは接線よりも上に来るので、
 ・・・①
(2) の接線の利用
のグラフは上に凸で接線から下に来ることを利用します。
における接線は、より、
においては、のグラフは接線よりも下に来るので、
 (以後は①)
(3) 平均値の定理の利用
関数に平均値の定理を適用すると、より、
 ()
となる実数cが存在します。
より、
 (以後は①)
(4) ニュートン法の利用
方程式:の解はです。
におけるの接線は、より、
x軸との交点は、として、

のグラフは上に凸なのでx軸との交点は、その接線とx軸との交点よりもx軸正方向にずれた位置に来ます。
 (以後は①)
(5) テーラー展開の利用
の近くにおけるテーラー展開:
を知っていれば、 (問題によっては、より高次の項まで必要なときもあります)とおいて、
においては、よりは増加で、
これより、として、
 (以後は①)
注.大学入試では、の場合のマクローリン展開で充分な場合がほとんどです。


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  1. 2009/01/26(月) 12:44:00|
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東大理系数学'08年前期[5]

東大理系数学'91前期[5]

xy平面上、x座標、y座標がともに整数であるような点を格子点と呼ぶ。
各格子点を中心として半径
rの円が描かれており、傾きの任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという。このような性質をもつ実数rの最小値を求めよ。

解答 問題の意味は、間隔1mの碁盤目状の位置に、断面の円の半径がrの円柱と見なせる竹が並んでいて、その間を、傾きの方向から光を入射させるときに、光がすり抜けないような半径rの最小値はいくらか、ということです。
竹林の中から光が漏れてくるのを見て老翁がかぐや姫を見つけた古典にちなんで、「かぐや姫」問題と、私は呼んでいます。

格子点は、まばらに並んでいるように見えるのですが、その間をすり抜けようとすると意外と難しいものです。まず、無理にすり抜けようとせずに、いずれかの格子点を通過する直線から考えることにします。
傾きの直線は、実数
kを用いて、
 ・・・①
と表せます。直線①の
y切片はです。
①が格子点を通過するとして、
が成り立つのですが、
kはどんな数になるのでしょうか?
mnに適当に整数を入れてみます。
とすると、となるので、です。
とすると、
とすると、
とすると、
とすると、
とすると、
とすると、
とすると、
とすると、
まだまだ続けます。
とすると、
とすると、
とすると、
とすると、
なんて、的外れなことをして遊んでいると感じるかも知れませんが、これが、難問を解くコツなのであり、また、難関大学を制覇するための手法なのです。
上記で、重要な事実に気がつけるはずです。

kの値として出てくる数は、・・・,0123456,・・・・・・というようになっています。半端な小数は出てきません。整数が順に並んでいるのです。これが、この問題のポイントです。
つまり、格子点を通過する直線①は、





 ・・・②
 ・・・③



という具合に並ぶのです。これを
xy平面上に書いてみると右図のように等間隔に並びます。なぜ等間隔になるか、というと、kが整数値をとるからです。mnを整数として、

と表せるのですから、整数と整数をかけて整数、整数同士引けば整数なので、
kが整数になるのは当然です。上記では、kがすべての整数をとりそうだ、ということを確かめたのです。
こうなれば、もう、解けたのも同然です。
碁盤の目状に並んでいる竹を光がすり抜けて行くのだとしたら、右図黒線の直線のちょうど中間
(橙色の直線)を通ればよいのです。
この問題は、傾きの直線がこれらの円のどれかと共有点をもつ、と言っているのですが、光を通過させないような最小の半径はどれだけか、ということです。右図のように等間隔に並んだ直線のうち、隣り合う
2直線の距離のが最小値です。
②と③の距離を考えると、②は原点を通るので、原点と③の距離
dを、点と直線の距離の公式を使って求めると、
求める最小値はこので、
......[]

東大の数学の試験は150分で6題です。1題に25分かけることができます。上記のストーリーで充分に25分に入ります。この方式で34題ものにすれば充分に合格ラインに入ります。
上記で、どうして、解答にたどり着けたのか、というと、①の
xyに整数を入れてみたからです。難関大学の問題を解く、ということは、抽象的な高尚な理論を振り回す、ということではなく、誰にでも簡単にできる遊び心のようなところから、重要な事実に気がつく、ということなのだ、ということをぜひ知って頂きたいと思います。チャレンジする気持ちさえあれば、誰にでも手が届くことなのです。


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  1. 2008/10/10(金) 08:08:55|
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東大理系数学'02年前期[6]

東大理系数学'02年前期[6]

Nを正の整数とする。個の項からなる数列

という数列に並べ替える操作を「シャッフル」と呼ぶことにする。並べ替えた数列はを初項とし、の次にの次にが来るようなものになる。また、数列をシャッフルしたときに得られる数列において、数kが現れる位置をで表す。
たとえば、
のとき、をシャッフルするととなるので、である。
(1) 数列3回シャッフルしたときに得られる数列を求めよ。
(2) を満たす任意の整数kに対し、で割り切れることを示せ。
(3) nを正の整数とし、のときを考える。数列回シャッフルすると、にもどることを証明せよ。

解答 2002年前期の東大の問題は、この問題が考えにくいので、他を易しくしたのかも知れません。

(1) 各回ごとにシャッフルした結果を書いてみます。
より
......[
]
(2) 問題文のまま考えようとしても、よほどの天才でない限り、何も浮かばないと思います。
文字で問題が書かれているので抽象的で、どのようなことを言っている問題なのか、感じがつかめないのです。
こういう時は、具体的に数値を代入して、調べていきます。
(1)ではの場合を調べました。ここでもとして考えてみます。1回シャッフルした結果について、8種類の数の各々について、 ()の動きを調べてみます。
k
120
240
360
480
51
63
75
87
左表で、例えば、上から6行目に、 6, 3, と数が並んでいますが、これは、(1)1回シャッフルした結果、63番目に出てきて、であることを意味しています。

のとき、ですが、の欄に並んでいる数は、0なので、9で割り切れます。
これを、一般的な正の整数Nについて示せ、と、言っているのです。

まず、の場合を例にとりながら、方針を立てます。表を見ると、2つのタイプに分かれることにすぐ気づきます。
のグループ(上の4)のグループ(下の4)です。
1回シャッフルした結果を眺めると、のグループでは、になっていることがわかります。1つずつ互い違いに割り込んでくるからです。
のグループでは、になっていますが、これはどのような仕掛けになっているのでしょうか?
1回シャッフルした結果を見ると、このグループの先頭の51番目に入り、以後、2つのグループが互い違いに入るので、1つおきに6, 7, 8が入り、63番目、75番目、87番目という具合に入っていきます。

一般的に、個の項からなる数列を前半のN個のグループと後半のN個のグループに分けます。
シャッフルすると、先頭はになります。です。
2番目は、1になります。です。
から順にまで、1番目のより、1つおきに、3番目、5番目、・・・という具合に入っていくので、,・・・,
即ち、となる整数kについて、となります(などを確かめてください)
2から順にNまで、1の入った2番目の位置より、1つおきに、4番目、6番目、・・・という具合に入っていくので、,・・・,
即ち、となる整数kについて、となります。

以上より、
となる整数kについて、で割り切れます。
となる整数kについて、で割り切れます。
よって、示されました。

(3) (1)よりのとき、つまりのとき、n回、つまり3回シャッフルすると、ちょうど順番が正反対になることがわかります。従って、さらにn回計回、つまり、はじめから6回シャッフルすれば、順番がまた正反対になって、元に戻るわけです。

m(mは、を満たす整数)シャッフルしたときのkの位置をと書くことにします。です。
示すべきこと、つまり、回シャッフルして順番が元に戻るということは、となる、ということです。

(1)の場合を調べましたが、これを利用して、の場合について、シャッフルするごとにkがどこに移動するか、を調べてみます。
k
1248
2487
3636
4875
5124
6363
7512
8751
左表で、例えば、上から4行目ののところは、8, 7, 5となっていますが、,つまり、4は、1回シャッフルすると8番目に、2回シャッフルすると7番目に、3回シャッフルすると5番目に来る、という意味です。

ここで、一つ気がつきたいことがあります。(2)からを引いたときで割り切れることを確かめました。これを応用してみます。
(2)では、からはを引いて9で割り切れることを確かめたのですが、に対して、シャッフルするごとに、と、2倍ずつされて行きます。
そこで、についても、シャッフルするごとに2倍ずつして行き、で割ったものを考えます。
9で割ると、に対して、9で割った余りは、となり、と一致します。
9で割ると、に対して、9で割った余りは、となり、と一致します。
9で割ると、に対して、9で割った余りは、となり、と一致します。

そこで、一般的に、のとき、mを自然数、kを満たす整数だとして、で割った余りがと一致すること、つまり、商をとして、
 ・・・①
と書けることを、mに関する数学的帰納法を用いて示します。

() のとき、(2)より、は、で割り切れるので、商をとして、
・・・②
これは、で割ると、余りがであることを意味します。

() のとき成り立つとします。で割った余りがと一致するので、
両辺に2をかけて、
・・・③
の場合を考えるのに当たって、この式に出てくるを何とかしなくてはいけません。
上のの表をよく見ると、どの欄においても、1の次には22の次には43の次には64の次には85の次には16の次には37の次には58の次には7が来ます。ということは、は、kとしたものに一致する(,・・・)、ということです。つまり、
言い換えると、kl回シャッフルして番目の位置にいたとして、次のシャッフルでどこに行くか(これが、です)と言うと、最初に番目の位置にいたのはkなので、k1回シャッフルして行く位置と同じ位置に行く、つまり、に行く、ということです。
②のkに入れ替えると、
これを③に代入すると、
は整数なので、これは、で割った余りがであることを意味します。つまり、においても成り立ちます。

()()より、で割った余りは、と一致します。

ここで、①において、とすると、


は整数なので、これは、で割った余りがkであることを意味しています。
で割った余りなので、
ですから、です。
これは、数列回シャッフルすると、にもどることを意味します。


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  1. 2008/05/15(木) 16:46:56|
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