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京大物理'08年前期[3]検討

京大物理'08前期[3]検討

[3](解答はこちら) この問題は原子分野の問題のように見えますが、問題文中で光子について説明されているし、光子のエネルギーも、光子の運動量も与えられているので、原子分野を履修していなくても解答できます。試験場で早合点しないように注意してください。前半は2次方程式を解いて近似するだけなので、難しくはありません。
後半は、ドップラー効果に近似が混じるので、
()などかなり苦労するかも知れません。近似の仕方も指定されているので、何とかして、微小量の形をひねり出さなくてはなりません。()が切り抜けられたとして、()のグラフ選択は、吸収体がγ線を吸収してしまうとγ線強度測定器にγ線が届かなくなることに注意してください。受験生が理解してグラフを選択しているのか確認するために、問2でグラフ選択の理由を聞く、という念の入れようです。

[3]だけでなく、[1][2]もそうですが、恐ろしく問題文が長文で、問題文を読んでいるだけで制限時間が来てしまうのではないか、と、思えるほどです。気の短い受験生だと、問題文を読みもしないで問題の意図を推測して解答を考える、というようなことになりかねません。京大は、理系受験生に対しても長文読解力を要求しているのです。理系受験生に文学作品や評論を熟読多読せよ、とは言いませんが、講談社のブルーバックスのうちおもしろそうなものをしっかりと読み込んでおく、というようなことくらいはやっておいて頂きたいと思います。


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  1. 2008/08/29(金) 11:31:11|
  2. 京大物理'08年
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京大物理'08年前期[2]検討

京大物理'08年前期[2]検討 京大物理'08前期[2]検討

[2](解答はこちら) エネルギー密度を聞いている点と問2を除けば、コンデンサーの頻出問題です。京大受験生であれば、解法でまごつくことはないはずです。計算がやや面倒なので計算ミスに注意すべき問題でしょう。
コンデンサーに誘電体や導体を挿入する問題では、コンデンサーを誘電体や導体が挿入されている部分と、挿入されていない部分とに分けて、直列・並列の合成容量の公式を用います。
また、極板間の電界は、平行板コンデンサーでは一様なので、極板間電圧
V,極板間の電界E,極板間距離dに関する公式:を用いることができます。
静電エネルギー
Uは、です。これらの基本公式を使いこなせるように、よく練習を積んでおいてください。
起電力
Vの電池が静電容量Cのコンデンサーに電荷を送り込むときにする仕事Wは、です。コンデンサーが貯め込むエネルギーはなので、残りのは何らかの別の仕事に使われます。この問題では、導体を引き込む仕事に使われます。
2が何か裏のある問題なのか、と、思わせますが、裏の裏をかく問題なのでしょう。


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  1. 2008/08/28(木) 08:33:54|
  2. 京大物理'08年
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京大物理'08年前期[1]検討

京大物理'08年前期[1]検討 京大物理'08前期[1]検討

[1](解答はこちら) 言われたとおりに解答してゆけば難しくはないのですが、最終結論が人間の常識的な感覚と異なるので、勘違いしたり、試験場で悩み込んでしまいがちな問題です。
出題者の意図は、ばねの弾性力の場合と万有引力の場合とで、各エネルギーの関係を比較させたいのだろうと思います。
(1)(2)(3)では、等速円運動の運動方程式から、運動エネルギーとばねの弾性エネルギーが等しくなることに気づかせようとします。ばねの弾性エネルギーが減少すると等量の運動エネルギーが減少し、結局、摩擦力が仕事をすると、速さは減少します。
それに対し
(4)では、運動方程式から、万有引力の位置エネルギーが運動エネルギーの2倍を負にしたものだ、と、わかるのですが、このときには、抵抗力のした仕事分だけ、運動エネルギーが増大して、物体が摩擦力によって加速される、という、常識、先入観に反するような結果が出てきます。
ピサの斜塔から、質量の異なる
2物体を落下させて、物体の落下加速度は質量に無関係という、当時の一般常識に反することを示そうとしたガリレオの逸話のようなことになる問題なので、ここで、まごつかないようにしなければいけません。
質量からエネルギーを取り出せるはずがない、と、人間がいくら強弁しても、物理学は、原子力発電所で電力が得られることを実践して見せているのです。人間は不完全な存在です。神が創造した物理学は人間の感覚を上回るのです。試験会場でも、出てきた結果を冷徹に受け入れなければいけません。

この問題で少々困るのは、どう答えるのかがよくわからない解答欄があることです。
()については、数値で答えよ、という指定がついていますが、()の「に比例する形で」というのも戸惑うし、()もどう答えればよいのかわかりません。とか、という解答が出てきたらどう採点したのでしょうか?ご覧の皆さんは、「式(iii)は直線上の等加速度運動と同じ形をしている」という問題文の表現が何を言いたいのか、題意の把握に努めてください。
私は、こうした空所補充型の試験は不適切だと思います。京大も、東大、東工大のように、完全記述式にすべきではないか、と思います。


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  1. 2008/08/28(木) 08:32:37|
  2. 京大物理'08年
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京大物理'08年前期[3]

京大物理'08年前期[3]

次の文を読んで、  には適した式または数値を、{  }には図3から適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1,問2では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

電磁波の一種であるγ線の放射と測定について考察しよう。物質を構成する原子は電子と原子核からなり、原子核の内部のエネルギーが高い状態から低い状態に移るときに、原子核からγ線が放射される。以下では、電子の質量は原子核の質量と比較して非常に小さいため、無視できるものとする。
振動数
fの電磁波は、ある一定のエネルギーをもった粒子の集まりと考えることができ、その粒子を光子という。光子1個のエネルギーは,運動量は電磁波の進む向きにの大きさであることがわかっている。ここで、hはプランク定数とよばれる定数であり、cは光速である。
以下において、原子核の内部のエネルギー状態には、励起状態とよばれるエネルギーの高い状態と基底状態とよばれるエネルギーの最も低い状態の
2つがあるものとする。励起状態のエネルギーを,基底状態のエネルギーをとし、そのエネルギー差をとする。
まず、質量Mの原子核1個によるγ線放射を考える。原子核が励起状態から基底状態に移るときに、γ線の光子が1個放射される。静止していた原子核は、図1のようにγ線放射の反作用により速さvで動き出す。速さvの原子核の運動エネルギーと運動量の大きさは、原子核が基底状態にあるか励起状態にあるかに関わりなく、それぞれとしてよい。また、原子核の全エネルギーは内部のエネルギー(または)と原子核の運動エネルギーの和で与えられる。よって原子核から振動数のγ線が放射される場合、エネルギー保存則はを用いて あ ,運動量保存則は い と書くことができる。ここで、に比べ充分に小さいことがわかっている。絶対値が1より充分に小さい数d に対して成り立つ近似式を用いると、Mchを用いて う となる。
次に、この原子核をもつ原子
N個で構成されている静止した結晶からのγ線光子1個の放射を考える。この結晶の質量はで与えられる。以下では、結晶は充分低温であるものとし、原子核が結晶中に固定され、γ線を放射する原子核はその反作用を受けても結晶中に固定されたままであるとする。この場合、γ線放射の反作用は結晶全体で受け止められ、結晶が速さで動き出すものとする。このときの放射γ線の振動数MNchを用いて え となる。また、構成する原子数が無限大とみなせる大きい結晶の場合、放射されるγ線の振動数はとなる。

1 原子N個で構成されている静止した結晶からのγ線光子1個の放射について、エネルギー保存則と運動量保存則を記述せよ。さらにNが無限大とみなせるとき、エネルギー保存則において結晶の運動エネルギーの項がその他の項に比べて無視でき、その結果、放射γ線の振動数がとなることを説明せよ。

同様の考察により、同じ種類の原子で構成されている静止した大きい結晶にγ線を当てると、この結晶は振動数のγ線のみをよく吸収することがわかっている。このような結晶をここでは吸収体とよぶ。

次に、図2のような実験装置を用いたγ線の測定を考えよう。
γ線源は同じ種類の
N個の原子で構成された結晶多数からなり、振動数のγ線を一定の強度(単位時間当たりに放射されるγ線の光子数)で放射するものとする。吸収体を乗せた台車を水平な床の上におき、図2のように左端を床に固定したばねにつなぐ。γ線源は台車から充分に遠方に置かれ、γ線は吸収体付近で図2x軸に平行に進むものとする。吸収体の表面はx軸に垂直である。吸収体は、振動数以外の振動数のγ線を通過させるが、振動数のγ線を完全に吸収するものとする。吸収体の後方の床上にγ線強度測定器を設置する。吸収体からのγ線放射は無視できるものとする。
ばねを自然の長さのときの位置
OからAだけ伸ばして、時刻に静かに放すと、台車はx軸に平行に角振動数wで単振動する。以下では、吸収体の運動により、吸収体中で観測されるγ線の振動数は音波のドップラー効果と同じ変化をするものとする。なお、吸収体の屈折率によるγ線の速度の変化は無視できるものとする。この場合、γ線の波長をlとすると、吸収体が速さVで運動しているときは、静止しているときに比べ、単位時間当たりに吸収体に到達する波の数がだけ変化する。よって、時刻tにおいての関係がある。(lVを用いずに表せ。)
台車が動き始めてから時刻で突然、測定器で測定されるγ線強度が変化した。に一致したからである。絶対値が1より充分小さい数d に対して成り立つ近似式を用いると、の満たす条件は か である。(を用いずに表せ。)
ここで、の原子核のγ線放射において、のときにで測定されるγ線強度が変化したとする。なお、とする。このときのwを有効数字1けたで求めると き rad/sである。また、台車が一周期単振動するとき、想定されるγ線強度との関係は図3{ く }のように予想される。

2 図3{ く }を選択した理由を記述せよ。

解答 光子が出てくるので原子分野の問題のようにも見えますが、光子の定義、光子1個のエネルギー,運動量の大きさが与えられているので、原子分野を履修していなくても解答できます。むしろ、ドップラー効果運動量保存則エネルギー保存則の融合問題と言うべきでしょう。

() 原子核がはじめに持っているエネルギー,γ線放出後、原子核が持っているエネルギー運動エネルギーでγ線光子の持っているエネルギーより、
エネルギー保存則
......[]
() はじめ原子核は静止していたので運動量0,右向き正として、γ線放出後の原子核の運動量,γ線光子の運動量より、
運動量保存則 ......[]
() ()の結果より、
これを()の結果に代入すると、


より、

......[]
() 上記において、とすることにより、
......[]

1 ()()について、MNMvとして、
エネルギー保存則 ・・・(1)
運動量保存則 ・・・(2)
(2)より、
これを(1)に代入すると、
()と同様にすれば、これより、()で、として、
が得られたことが確認できます。ここで、とすると、より、
が得られます。

()吸収体の時刻tにおける位置は、 (単振動を参照)
吸収体の時刻tにおける速度は、
吸収体の速度Vのとき、吸収体中で観測されるγ線の振動数は、γ線のもとの振動数からだけずれます。なら (波源から遠ざかるときは振動数→小)なら (波源に近づくときは振動数→大)に注意して、
両辺をで割り、を用いると、
 (ドップラー効果の公式を使えばすぐにこう書けます)
......[]
() ()の結果で、とおくと、
()の結果で、として、
 (3)
は微小量なので、
(3)に代入し、

......[]
() ()の結果に数値代入すると、
これより、
0.6 ......[]
() を満たすのは、においては、のときです。
このとき、吸収体でγ線が完全に吸収されてしまうので、γ線強度測定器で観測されるγ線強度は0です。これ以外の時には、γ線は吸収体を通過してγ線強度測定器に到達するので、一定量のγ線が観測されます。
......[]

2 γ線は、のとき吸収体に完全に吸収され、それ以外のときにはγ線強度測定器に到達するから ......[]


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  1. 2008/03/20(木) 03:43:33|
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京大物理'08年前期[2]

京大物理'08年前期[2] 京大物理'08年前期[2]

次の文を読んで、  には適した式または数値を、  には適切なグラフを、{  }からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じ式を表す。また、問1,問2では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

2のように、幅w,長さの長方形の2枚の極板ABが間隔dで向かい合わせに配置された平行板コンデンサーを考える。不導体(絶縁体)で作られた水平でなめらかな台の上に極板ABは固定されており、その間にあらかじめ帯電していない幅wの直方体の金属板が極板ABと接触しないように挿入されている。これらはすべて不導体の気体中にあり、その気体の誘電率をeとする。極板は図1のように起電力Vの電池と接続されている。
2は図1を台の上方から見たものである。金属板は厚さc,長さLであり、極板に平行に極板Aから距離b離れ、コンデンサーの左端から長さXだけ挿入されている。ここで図2の右側に示すようにx軸,y軸を定義し、図2の右向きをxの正方向、上向きをyの正方向とする。以下では、極板と金属板の端における電場(電界)の乱れは無視でき、電場は全てyの正方向のみを向いているとする。
このコンデンサーは、図
2に「部分Ⅰ」として極板間に金属板が存在しない部分と、「部分Ⅱ」として示した極板間に金属板が存在する部分の2つの並列コンデンサーとみなすことができる。このコンデンサーに蓄えられたエネルギーは イ である。

このコンデンサーの部分Ⅰについてyの正方向の電位の変化をグラフに表すと、図3のようになる。図3では、極板Aからの距離を横軸yにとり、極板Bの電位を0とした。この図を参考に、部分Ⅱについてyの正方向の電位の変化をグラフに表すと ロ のようになる。(グラフにはでの電位を式で記入せよ。)

このコンデンサーの部分Ⅰに蓄えられたエネルギーを部分Ⅰの極板間の電場の強さEを用いて表すと、 ハ ×となる。は部分Ⅰの極板間の空間の体積であるから、その空間には単位体積あたり ハ のエネルギーが蓄えられていると考えることができる。このように考えた場合、部分Ⅱの極板間の金属板内に蓄られる単位体積あたりのエネルギーは ニ となる。
ところで、図
2の金属板には静電気力がはたらくことがわかっている。このことをつぎのように調べてみよう。ここで、電池の内部抵抗、電池とコンデンサーの間の配線の電気抵抗、金属板内部の電気抵抗、金属板と台の間の摩擦はいずれも無視できるものとする。
まず、金属板にはたらく静電気力の
x軸に平行な成分について考えよう。静電気力のx軸に平行な成分につりあう外力を金属板に加え、極板Aからの距離bを保ったまま、極板間に存在する金属板の長さをXからまで微小変化させたとしよう。このときのコンデンサーに蓄えられたエネルギーの変化量は ホ である。また、この間に電池がした仕事は ホ × ヘ である。コンデンサーに蓄えられたエネルギーの変化量から電池のした仕事を引いたものが、外力が金属板にした仕事に等しい。このことから、金属板にはたらく静電気力のx軸に平行な成分の大きさを求めると ホ ÷ ト となる。また、その方向は{ チ:① xの正方向 ② xの負方向 }である。

1 金属板にはたらく静電気力のy軸に平行な成分の大きさはいくらか。その理由とともに記述せよ。

のとき、の金属板をとして極板間に挿入した。このときに金属板にはたらく静電気力のx軸に平行な成分の大きさを有効数字2けたで求めると、 リ  Nとなる。

2 図2の金属板の代わりに、外形はまったく同じでその内部が空洞になっている金属箱を極板間に挿入することにする。また、その空洞内には誘電率eの不導体の気体が入っているとする。この金属箱にはたらく静電気力のx軸およびy軸に平行な成分は、図2の金属板を用いたときに比べ、それぞれどう変化するか。その理由とともに記述せよ。

解答 少々計算が面倒ですが、コンデンサーの問題としては標準的なタイプの問題です。

() 部分Ⅰの横の長さ,部分Ⅰの面積,部分Ⅰの静電容量です。
部分Ⅱは金属板が挿入されていますが、金属板はA側とB側にできている2個のコンデンサーを接続しているだけであって、静電容量への寄与はありません。部分Ⅱの面積です。金属板とAとの間にできているコンデンサーの静電容量,金属板とBとの距離で、この部分にできているコンデンサーの静電容量直列接続の合成容量は、

Cに蓄えられたエネルギーUは、
......[]
() 両端の電圧として、に蓄えられる電気量は等しく、より、

このが、での電位(における電位)になります。金属板とA (),金属板とB ()の間の部分については、一様な電界(電場)ができるため、電位は距離に対して直線的に変化します(電位・電圧を参照)
問題文のグラフ(3)で、位置yにおける電位vとして、を結ぶ直線の式は、
ここで、とすると、



より、
よって、部分Ⅱにおけるy方向の電位の変化をグラフに表すと、右図のようなグラフになります。
() 部分Ⅰの電界(電場)の強さは静電エネルギーは、
......[]
問題文中にあるように、誘電率eの物質が充満している空間内に一様な電界Eがあるときの単位体積当たりのエネルギー(エネルギー密度)は、になります。
() 電流が流れていない金属板の中に電界(電場)は生じません。従って、金属板内に蓄えられる単位体積あたりのエネルギーは、0 ......[] です。
() ()の結果において、Xとすると、そのときの静電エネルギーは、
()の結果を引くことにより、この間にコンデンサーに蓄えられたエネルギーの変化量は、
......[]
() ()の状況下でコンデンサーが蓄えている電気量のときのコンデンサーの静電容量として、コンデンサーが蓄えている電気量
Xの間にコンデンサーに供給された電気量
()の結果はと書けるので、この間に電池が供給した仕事は、
2 ......[]
() 電池が供給した仕事は、コンデンサーの静電エネルギーの増加分と金属板に対して電池がした仕事になります。ということは、電池が金属板に対してした仕事です(コンデンサーの過渡現象を参照)
極板Aには正電荷、金属板のAと対向する側には負電荷が蓄えられ、極板Bには負電荷、金属板のBと対向する側には正電荷が蓄えられるので、極板ABと金属板の間には引力となる静電気力(x軸正方向を向く)が働きます。
電池が金属板にした仕事は、極板ABと金属板との間に働く静電気力がする仕事です。静電気力がする仕事は、静電気力に逆らう外力がした仕事にマイナスをつけたものになります。外力の大きさをFとして、極板ABと金属板との間には引力が働いているので、これに逆らう外力の向きがx軸負方向であることを考慮し、外力がした仕事です。従って、

 ・・・()
......[]
() 上記より、静電気力の向きはx軸正方向で、① ......[]

1 ()の結果によると、コンデンサーの静電エネルギーXの関数であってyには依存せず、金属板がy方向に微小距離移動しても静電エネルギーは変化しません。よって、静電気力y軸に平行な成分の大きさについて、
......[] (位置エネルギーを参照)

() ()式より、静電気力x軸に平行な成分の大きさは、
[N]
......[]

2 ()式は、金属板の内部形状には依存せず、表面が金属でありさえすれば成立します。従って、金属箱に働く静電気力x軸およびy軸に平行な成分は、変化しません。
変化しない。()の結果は、金属板でも金属箱でも変わらないから。 ......[]


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