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京大文系数学'08年[5]

京大文系数学'08[5]

n角形とその外接円を合わせた図形をFとする。F上の点Pに対して、始点と終点がともにPであるような、図形Fの一筆がきの経路の数をで表す。正n角形の頂点をひとつとってAとし、とおく。また、正n角形の辺をひとつとってその中点をBとし、とおく。このときabを求めよ。
注:一筆がきとは、図形を、かき始めから終わりまで、筆を紙からはなさず、また同じ線上を通らずにかくことである。

解答 文系学部の問題ですが、理系学部の問題よりも難しい気がします。理系の皆さんは、本問を文系の問題と軽く思わないようにしてください。

を考えてみましょう。
まず、の場合、正
3角形ACDで考えてみます。
最初に
ACと進む場合とADと進む場合の一筆書きの経路数は同じなので、ACの方を考えます(あとで2倍します)。円弧AC上を通るのか辺AC上を通るのか2通りあります。Cに来た後、
(i) CAと進む場合、CA間は先に通らなかった方を通り、以後は、ADCDAと進むしかありません。AD間、DC間は、それぞれ、円弧を通るのか辺を通るのか2通りあるので、経路数は通りあります。
(ii) CDと進む場合、CD間は2通り、Dに来た後、DCADAと進むか、DACDAと進むか、DADCAと進むかですが、いずれの場合も、DA間の進み方が2通りあり、経路数は通りあります。
(i)(ii)を合わせ、通り。・・・①

n角形についていきなり考えるのは難しいので、漸化式を立てることを目指します。漸化式は、正n角形の場合と正角形の場合を比較することになります。この2つの場合を比較しやすいように、正n角形の頂点を,・・・,,正角形の頂点を,・・・,とします。
n角形の場合、最初にAとして書き始め、と進む場合と、と進む場合とでは、それ以降の一筆書きの経路数は同じです。どちらか一方を考えておき2倍すればが求められます。
そこで、正
n角形の場合と正角形の場合を比較しやすいように、と進む方を考えることにして、一筆書きの経路数をとします。です。また、①よりです。
角形の場合に、と進むときの一筆書きの経路数はです。
この場合、まず、と進むときに、外接円上を通るのか、正角形の辺上を通るのか、
2通りあります。・・・②
次に、に来たときに、
(i) に戻ってしまうのか、(ii) に行くのか、2つの場合があります。
(i) に戻るときは、と進んだときに通らなかった方を通るので1通りしかありません。そして、に戻った以降は、 ・・・ ・・・ と進むしかありません。この間個の頂点間(頂点と頂点の間はn)を、行き帰りのどちらで、外接円上を通るのか、辺上を通るのか、通りあります。
(ii) に行く場合、途中どの経路を通るのかはさておいて、いずれはに来るのですが、既に、と進んできた後なので、の間の経路は、と進むにせよ、と進むにせよ、円弧と辺のうち1本しか残っていません。であれば、の間の経路を考える意味はないのです。そこで、を合わせて1つの点とみなして経路数を数えてしまうことにします。すると、と進みに来た後の経路数は、正n角形でと進む場合の経路数通りになります。
(i)(ii)を合わせて、②を考慮すると、
 (2項間漸化式を参照)

両辺をで割って、
数列は、初項:,公差:1等差数列で、

......[]

を考えます。
まず、の場合、正三角形
ACDで考えてみます。点Bは辺ACの中点だとします。
最初に
BAと進む場合とBCと進む場合の一筆書きの経路数は同じなので、BAの方を考えます(あとで2倍します)
Aに来た後、
(i) ACと進む場合、以後は、CDADCと進むしかありません。CD間、AD間は、それぞれ2通りあり、経路数は通りあります。
(ii) ADと進む場合、AD間が2通り、Dに来た後、DACDCと進むか、DCDACと進むか、DCADCと進むかですが、いずれの場合もDC間の進み方が2通りあり、経路数は通りあります。
(i)(ii)合わせて、通り。・・・③

この場合も漸化式を立てることを考えます。
n角形の頂点を,・・・,,正角形の頂点を,・・・,とします。辺の中点をBとします。
n角形の場合、最初にBから書き始め、Bと進む場合と、Bと進む場合とでは、それ以降の一筆書きの経路数は同じです。どちらか一方を考えておき2倍すればが求められます。
Bと進む方を考え、一筆書きの経路数をとします。です。また、①よりです。
角形の場合に、
Bと進むときの一筆書きの経路数はです。
この場合、まず、と進むときに、外接円上を通るのか、正角形の辺上を通るのか、
2通りあります。・・・④
次に、に来たときに、
(i) に戻ってしまうのか、(ii) に行くのか、2つの場合があります。
(i) に戻るときは、と進んだときに通らなかった方を通るので1通りしかありません。そして、に戻った以降は、 ・・・ ・・・ と進むしかありません。この間n個の頂点間(頂点と頂点の間は経路)を、行き帰りのどちらで、外接円上を通るのか、辺上を通るのか、通りあります。
(ii) に行く場合、既に、と進んできた後なので、のときと同様に、を合わせて1つの点とみなして経路数を数えてしまうことにします。すると、と進みに来た後の経路数は、正n角形でと進む場合の経路数通りになります。
(i)(ii)を合わせて、④を考慮すると、

両辺をで割ると、
数列は、初項:,公差:の等差数列です。


......[]


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  1. 2008/11/15(土) 10:55:03|
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京大理系数学'08年前期乙[6]検討

京大理系数学'08前期乙[6]検討

[6](解答はこちら) 実質的に'08年前期甲[6]と同じ問題ですが、三角関数の表がついていて、数値計算をするようになっています。
詳細な三角関数の表にはびっくりしますが、昨年、
東工大'07年物理前期[3]でも出ているので、京大の先生が、じゃあうちでも、と、思ったのかも知れません。

球面上で考え抽象的で目的のわからない甲
[6]と比べて、地球表面の飛行距離をイメージして具体的で問題の目的が明確な乙[6]の方が取り組みやすいのではないかと私は思うのですが......
緯度・経度がわからない、という受験生がいたそうです。三角関数表よりもこの方が私には驚きでした。京大に合格したとして、卒業後、気象を扱うような仕事についたときに、台風や低気圧の進路をどう考えるつもりなのでしょうか?入試の範囲以外のことは関係ない、と言うのなら、京都大学を目指すべきではないと私は思います。こちらをご覧の皆さんには、ぜひ幅広い素養を身につけるように頑張って頂きたいと思います。

同一緯度上の経路と大円上の経路との大小は直感的にわかると思うので、三角関数の表が与えられていて、経路の長さを数値的に比較できる、という点でも、乙
[6]は、角の大きさで比較できない甲[6]よりやりやすいと言えるのではないでしょうか。


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京大理系数学'08年前期乙[4]検討

京大理系数学'08前期乙[4]検討

[4](解答はこちら) この問題は、式変形により、'08年前期甲[4]に帰着します。[4]の検討を参照してください。


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京大理系数学'08年前期乙[3]検討

京大理系数学'08前期乙[3]検討

[3](解答はこちら) 京大は、「条件・・・をみたす・・・が存在することを示せ」という問題をよく出題します。「必ずABとなること」を示すのに比べて、「存在」を示す問題は、全部のものが条件をみたすわけではないけれど、中に条件をみたすものが存在することを示す、という点で、示し方が難しくなります。

条件
(C)をみたすものが存在するなら、それは条件(D)をみたすはずだ、というのでは、存在を示したことにはなりません。条件(D)をみたすものはどんなものか、本当に存在するのか、ということを言わなければいけません。

これをできるだけ簡単に考えるためには、条件
(C)をみたすものを見つけ出す方法を説明すればよいのです。「天竺の国には不老長寿の薬が存在することを示せ」と言うのであれば、天竺の国に行く行き方を示し、こうすれば必ず不老長寿の薬を手に入れることができる、ということを説明すれば、「存在」を示したことになります。
このとき、不老長寿の薬が実は
100種類くらいあるとして、100種類のうち1種類の入手法を説明すれば、「存在」を示したことになります。100種類すべての入手法を説明する必要はありません。

4直線との交点が平行四辺形の4頂点となるような平面が存在することを示せ」というのであれば、平面と4直線との交点を4頂点とするような四角形でいて、平行四辺形となるものを、どうやって見つけることができるのか、ということを説明します。
解答では、
となるように、stuvを定めて、4直線上の点A()B()C()D()をとれば、となっていて、四角形ABDCが平行四辺形になっていることを説明しました。
4直線との交点が平行四辺形となるようなものの見つけ方が説明されているので、条件を満たす平面の「存在」が示せたことになります。


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京大理系数学'08年前期甲[6]検討

京大理系数学'08前期甲[6]検討

[6](解答はこちら) 球面上で2点間の経路の長さを比べる問題で、やりにくそうに見えますが、「空間図形の問題は平面図形に置き直して考える」ということを一つの定石としてください。この問題では、解答のように、問題文に出てくる2円をABで交差するように同一平面上に描いてしまえば、2経路の大小は一見して明らかです。
半径の小さい方の円周上の長さの方が大きい、としても、多分、許してもらえると思いますが、解答では実際に長さを比べてあります。
2円の半径は、片方がで、もう一方が1になります。の長さを求めるために、を見込む中心角jを見込む中心角q を考えます。jは正三角形の頂角になるのでとわかります。q は、余弦定理で求めますが、としかわかりません。

を比べなければいけませんが、q がわからないので、を比べることになります。
において、は単調減少関数なので、より、
というストーリーになります。

いわゆる受験技巧が通用しない問題、ということで、理工系の全受験生に考えて頂きたい良問だと思います。


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