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東工大数学'06年前期[4](再掲)

東工大数学'06年前期[4] 東工大数学'06年前期[4]

空間内の四面体ABCDを考える。辺ABBCCDDAの中点を、それぞれKLMNとする。
(1) を示せ。ここにはベクトルの長さを表す。
(2) 四面体ABCDのすべての面が互いに合同であるとする。このときを示せ。
(3) ACの中点をPとし、とする。(2)の仮定のもとで、四面体PKLNの体積を求めよ。

解答 最近、東大、京大などで出題されている等面四面体に関する問題で、直方体ABCD-EFGHの各面の対角線と頂点とでできる四面体のうち、ABDEBCDGEFGBEGHD4個を取り除くと、等面四面体ができる、という知識を使えばすぐにできるのですが、ここでは、前提知識を想定しないでやってみます。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)





(2) 各面が正三角形、二等辺三角形であることは想定されていないので、各面とも辺の長さが異なるものとして、三角形ABCにおいて、 (abcは互いに異なる正数)とします。この場合でも、題意は成立しなければなりません。
となるために、なので、 ・・・① となるか、または、 ・・・② となるかのいずれか2通りの可能性しかありません。
となるために、なので、 ・・・③ となるか、または、 ・・・④ となるかのいずれか2通りの可能性しかありません。
より、①かつ③はあり得ません。
より、②かつ③はあり得ません。
より、②かつ④はあり得ません。
よって、①かつ④の場合に絞られますが、このとき、となります。
このとき、より、四面体ABCDのすべての面が互いに合同になります。
このとき、

(3) (2)の仮定のもとで、(1)より、
よって、です。
同様に、
よって、KL // NM,また、 ・・・⑤
これより、四角形KLMNは、平行四辺形ですが、より、平行四辺形の対角線が直交するので、四角形KLMNはひし形です。
MKLNの交点をOとすると、OMKLNの中点であり、また、
全く同様にして、BDの中点をQとすると、四角形PKQMはひし形で、MKの中点はOなので、PQの中点もOとなり、
(MKLNPQ1Oで互いに垂直に交わります)
⑤と同様にして、
三平方の定理より、
 ・・・⑥
 ・・・⑦
 ・・・⑧
(⑥+⑦+⑧)÷2より、
 ・・・⑨
⑨-⑧より、
⑨-⑦より、
⑨-⑥より、
四面体PKLNの底辺を三角形KLNと見ると、この面積は三角形OKLの面積2個分で、四面体の高さはOP
よっても四面体PKLNの体積は、
......[]


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  1. 2008/05/22(木) 09:29:01|
  2. 東工大数学'06年
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東工大数学'06年前期[3](再掲)

東工大数学'06年前期[3]

平面上を半径13個の円板が下記の条件(a)(b)を満たしながら動くとき、これら3個の円板の和集合の面積Sの最大値を求めよ。
(a) 3個の円板の中心はいずれも定点Pを中心とする半径1の円周上にある。
(b) 3個の円板すべてが共有する点はPのみである。

解答 なお、三角形の面積集合2円の位置関係三角関数を参照してください。

条件(b)より、3個の円板すべてが共有する部分の面積は0です。
従って、
3個の円板の位置関係は右図1のようになっていて、3個のうち2個をとってくると共有する部分の面積は正です。
2個の円板が共有する部分の面積は、右図2のように角q をとると、扇形OABの面積(扇形の面積については、一般角を参照)から三角形OABの面積を引いて2倍することにより、
 ・・・①

ところで、3個の円の中心をCDEとして、右図1のように、とします。仮に、だとすると、DEは直線CPの同じ側に来ますが、このとき、(b)の条件が満たされなくなります。よって、です。同様に、です。四角形CPDQと四角形CPERはひし形で、
①において、として、Cを中心とする円とDを中心とする円の共有部分の面積は、
①において、として、Cを中心とする円とEを中心とする円の共有部分の面積は、
,四角形DPESはひし形で、
①において、とおいて、Dを中心とする円とEを中心とする円の共有部分の面積は、
よって、3個の円板の和集合の面積Sは、3個の円の面積より、2個づつ共有されている部分の面積を除いて、

 ・・・②
ここで、を固定し()を、の範囲で動かすと、より、Sが最大となるのは、,つまり、のとき。このとき、

 (微分の公式を参照)
 (2倍角の公式を参照)
とすると、

のとき、
a0p
00
S
増減表より、Sの最大値は、のとき、 ......[]

②でトリッキーなことをやっているように見えますが、ab 2変数の関数Sの最大最小を考えるときの常套手段です。
2変数のうちの一つを固定し他方を動かして、最大・最小を、最初に固定した変数の関数の形に表しておき、さらに、最初に固定した変数を動かして、最大値の最大値、最小値の最小値を求めるのが普通ですが、ここでは、Sab に関して対称な形をしているので、のときに最大になるだろうと予測をつけて、をひねり出すようにします。2変数関数のように考え、まず、を固定してを動かす、というように考えています。


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  1. 2008/05/22(木) 09:25:52|
  2. 東工大数学'06年
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東工大数学'02年前期[2](再掲)

東工大数学'06年前期[2]

以下の問に答えよ。
(1) abを正の定数とし、とおく。における関数の増減を調べ極値を求めよ。
(2) mを正の定数とし、xy座標平面において条件
(a) ; (b) すべてのに対し
を満たす点からなる領域をDとする。Dの概形を図示せよ。
(3) (2)の領域Dの面積を求めよ。

解答 標準的な微積分の計算問題です。計算ミスによく注意してください。

(1)  (微分の公式を参照)
とすると、より、
t0
0
増減表より、において減少、において増加で、において極小値: ......[] (関数の増減を参照)

(2) (b)の条件から、として(1)を利用すると、の最小値m以上であればよいので、(a)の条件より、両辺にxをかけて整理すると、


 ・・・①

(a)の条件を加味するために、xの大小関係を調べます。
これは、,つまり、のときに負、のときに正で、
のときにのときに

として、曲線を調べます。
とすると、
概形を図示するだけなので、通常は増減を調べれば十分ですが、ここでは、における曲線の挙動を確認するために、凹凸も調べることにします(関数の凹凸を参照)
とすると、
x0
0
0
0
増減表より、曲線と直線は、が極大となる点で交わることがわかります。
以上より、求める領域Dは、右図斜線部(曲線上のの部分を含み、直線上を除く)

(3) 直線と直線x軸で囲まれる三角形の面積は、
曲線と直線x軸で囲まれる領域の面積(定積分と面積を参照)は、
 (部分積分法を参照)


求める面積は、
......[]


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  1. 2008/05/22(木) 09:18:13|
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東工大数学'06年前期[1](再掲)

東工大数学'06年前期[1]

以下の問に答えよ。
(1) 自然数nに対しを求めよ。
(2) 次の不等式を示せ。
 ()
(3) aを正の数とし、aを超えない最大の整数をで表す。が奇数のとき次の不等式が成り立つことを示せ。

解答 (1)(2)は教科書の例題レベルの問題ですが、(3)はガウス記号まで登場するので複雑そうに見えます。実は、(3)も、③式を利用して積分区間を分けてしまえば、(1)(2)が利用できる形になります。結局、n:奇数のとき、というだけのことなのですが、この奇数nと書いて、などとすると、難問に見えてしまうのが不思議です。なお、三角関数絶対値を含む積分を参照してください。

(1) は周期p の周期関数(三角関数のグラフを参照)で、ゆえ(の積分は、不定積分の公式を参照)
......[]

(2) 関数のグラフは、において上に凸(関数の凹凸を参照)なので、原点を結ぶ直線:から上側にあります。
従って、において、
とおくと、において、
 ・・・①
また、より、
 (定積分と不等式を参照)
両辺からsを引いて、
 ・・・②
①,②より、

(3) 与不等式中の積分について、とおくと、tのとき、x
 (置換積分を参照)
とおくと、 () ・・・③
③を用いて、定積分Iの積分区間を分けると、
 ・・・④
④式のカッコ内の第1項の積分は、(1)において、と考えると、
が奇数であるとき、 ()となるxについて、とおくと、であって、
より、
④式のカッコ内の第2項の積分は、
(2)より、
よって④より、 ・・・⑤
左辺は、③より、
⑤式各辺から1を引いて、
 ・・・⑥
⑥式の右辺は、③を用いて、



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