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センター数学IIB'08年第4問

 センター数学IIB '08年第4問 

四面体OABCにおいて、である。とおく。
(1) であり、である。
また、である。

(2) 直線AB上の点Pであるようにとると
   
となり、点Pは線分AB1に内分する。また、であり、である。
は三角形の各辺と垂直であるから、直線CPは三角形を含む平面に垂直である。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
ABC   OBC   OAC   OAB
三角形の面積はであるから、四面体OABCの体積はである。

解答 この問題の基礎事項は、空間ベクトルを参照してください。四面体の体積を求める問題ですが、特殊な技巧を使うことなく教科書レベルの知識で解答できるように工夫されている良い問題です。

(1) より、

() 3 () 1 () 2 ......[]
より、
() 3 () 2 ......[]
より、
() 1 ......[]

(2) Pは線分AB上の点だから、tを実数として、とおけます(共線条件を参照)

より、

() 1 () 3 () 2 () 3 ......[]
より、点Pは線分AB21,つまり、1に内分する点。
() 1 () 2 ......[]
() 0 ......[]

(セソ) 15 () 3 ......[]
より、で張られる平面に垂直です。つまり、直線CPは、三角形OABを含む平面に垂直です。
()  ......[]
(ツテ) 15 () 4 ......[]
四面体OABCの体積は、
() 5 (ニヌ) 12 ......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2008/01/22(火) 23:36:24|
  2. センター数学'08年
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センター数学IIB'08年第3問

 センター数学IIB '08年第3問 

(1) 数列は初項が7,公差がの等差数列とする。数列の一般項は
   
であり、初項から第n項までの和は
   
である。

(2) 数列は、第n項が
   
というn2次式で表され
    () ・・・①
を満たすとする。このとき
   
であり、である。
さらに、次の条件によって定まる数列を考えよう。
   
    () ・・・②
①と②より、とおくと
    ()
が成り立つ。これより、数列の一般項は
   
である。
数列の初項から第n項までの和となる。

解答 (1)  (等差数列を参照)
(アイ)  (ウエ) 11 ......[]
 (Σの公式を参照)
(オカ)  () 9 ......[]

(2)
これが、に等しいから、
 (恒等式を参照)
() 2 () 5 () 3 ......[]
(サシ)  ......[]
①,②より、

() 2 ......[]
これより、は、公比:2等比数列で、初項は、

() 7 () 2 ......[]

() 7 () 2 () 2 () 3 () 3 () 2 (ニヌ) 31 () 6 () 7 ......[]


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  1. 2008/01/22(火) 23:35:36|
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センター数学IIB'08年第2問

 センター数学IIB '08年第2問 

aを正の実数とし、x2次関数
   
   
とする。また、放物線およびをそれぞれとする。

(1) の共有点をPとすると、点Pの座標はである。また、点Pにおけるの接線の方程式は
   
である。

(2) x軸および直線で囲まれた図形の面積はである。また、x軸の交点のx座標はであり、x軸で囲まれた図形の面積はである。

(3) の範囲で、二つの放物線2直線で囲まれた図形をRとする。Rの中で、を満たすすべての部分の面積
のとき 
のとき
   
のとき 
である。したがって、aの範囲を動くとき、で最小値をとる。

解答 こういう問題は、私には賛成できません。いかに手抜きをして要領よく計算するかというずる賢さが問われているわけで、まるで、世渡り上手なお役人さんを奨励しているような問題です。以下の解答のように丁寧にやっていては、他の問題にかける時間がなくなります。

(1) を連立すると、


 (重解だということは、は接しているということです)
このとき、
の共有点(接点)Pの座標は、
() 4 () 3 () 2 () 9 ......[]
より、点Pにおける接線(実は、共通接線です)は、
() 1 () 3 () 2 () 9 ......[]

(2) x軸および直線で囲まれた図形F面積は、
() 1 () 3 ......[]
とすると、
() a (シス)  ......[]
x軸で囲まれた図形Gの面積は、
 (定積分の公式を参照)
() 1 () 6 ......[]

(3) の計算は、図形Gが、
(i) の中に入りきる(,つまり、)、か、
(ii) から右側が一部はみ出す()、か、
(iii) から全部が右側に出てしまう()
3つの場合に分けて行います。
() 1 () 2 ......[]
(i) の場合は、は、図形Fの面積から図形Gの面積を引いたものとなり、
 (問題文に書いてあります)
(iii) の場合は、は、図形Fの面積に等しく、
 (問題文に書いてあります)
(ii) の場合、は、図形Fの面積から、x軸と直線で囲む面積を引いたものになり、


() 5 () 6 () 4 () 6 () 3 ......[]
のとき、なので、で最小となることはありません。
における最小値は、です。
においては、
a12
00
増減表より、は、で最小値をとります(3次関数の最大最小を参照)
() 6 () 5 () 3 (ハヒ) 25 ......[]
注意 センター試験の会場では、最小は、引く方の面積:が最大のときと最初から決めつけて計算してください。最小値は、からの最大値(通分しないでおく)を引いて求めます。


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2008/01/22(火) 23:34:52|
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センター数学IIB'08年第1問

 センター数学IIB '08年第1問 

[1] 実数xyは、
    ・・・()
を満たしている。このとき
   
の最小値を求めよう。
真数の条件によりである。ただし、対数に対し、aを底といい、bを真数という。次に、()により
   
である。とおくと、であるから、zのとり得る値の範囲は
   
となる。さらに
   
となるから、Kのとき、最小値をとる。このとき、である。

解答 真数条件より、 (対数関数を参照)
(
) 0 ......[]
()より、
() 3 ......[]
とおくと、
 ・・・①
より、
() 1 () 3 ......[]
() 1 () 3 ......[]
z
は正だから、相加平均・相乗平均の関係より、
不等号の等号は、つまり ()のときに成り立ちます。
() 1 () 5 () 3 ......[]
このとき、より、だから、
() 1 ......[]
①より、
底が5の対数をとって、
() 5 () 2 ......[]


[2] aを正の定数とする。点Oを原点とする座標平面において、中心がOで、半径が1の円と半径2の円をそれぞれとする。を満たす実数q に対して、角の動径ととの交点をPとし、角の動径ととの交点をQとする。ここで、動径はOを中心とし、その始線はx軸の正の部分とする。

(1) のとき、Qの座標はである。

(2) 3OPQがこの順に一直線上にあるような最小のq の値は
   
である。q
   
の範囲を動くとき、円において点Qの軌跡を弧とする扇形の面積は
   
である。
(3) 線分PQの長さの2
   
である。
(4) xの関数
とおき、の正の周期のうち最小のものがであるとすると、である。

解答 (3)は、余弦定理でOKですが、出題者は、三角関数で計算させようとしているようなので、三角関数でやってみます。
Pは、半径1の円周上の点で、座標は、,点Qは、半径2の円周上の点で、座標は、です。

(1) のとき、Qの座標は、
() 3 () 1 ......[]

(2) 3OPQがこの順に一直線上にある場合、

(とします)
() 3 () 6 () 2 ......[]
のとき、なので、円において点Qの軌跡を弧とする扇形の頂角は、
この扇形の面積は、
 (一般角を参照)
() 1 () 3 () 1 ......[]

(3)



 (三角関数加法定理を参照)
() 5 () 4 () 3 () 1 () 3 ......[]

(4) の周期(三角関数のグラフを参照)の最小のものがということは、

() 1 () 6 ......[]


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  1. 2008/01/22(火) 23:34:06|
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センター数学IA'08年第4問

 センター数学IA '08年第4問 

さいころを3回投げ、次の規則にしたがって文字の列を作る。ただし、何も書かれていないときや文字が1つだけのときも文字の列と呼ぶことにする。

1回目は次のようにする。

・出た目の数が12のときは、文字Aを書く
・出た目の数が34のときは、文字Bを書く
・出た目の数が56のときは、何も書かない

2回目、3回目は次のようにする。

・出た目の数が12のときは、文字の列の右側に文字A1つ付け加える
・出た目の数が34のときは、文字の列の右側に文字B1つ付け加える
・出た目の数が56のときは、いちばん右側の文字を削除する。ただし、何も書かれていないときはそのままにする

以下の問いでは、さいころを3回投げ終わったときにできる文字の列について考える。

(1) 文字の列がAAAとなるさいころの目の出方は通りである。
文字の列がABとなるさいころの目の出方は通りである。

(2) 文字の列がAとなる確率はであり、何も書かれていない文字の列となる確率はである。

(3) 文字の列の字数が3となる確率はであり、字数が2となる確率はである。また、文字の列の字数の期待値はである。ただし、何も書かれていないときの字数は0とする。

解答 全事象の場合の数は、6×6×6216通りです(確率を参照)
(1) AAAとなるのは、3回とも12が出た場合で、その出方は、2×2×28通り。
() 8 ......[]
文字の列がABとなるのは、1回目に562回目に123回目に34が出た場合で、その出方は、2×2×28通り。
() 8 ......[]

(2) 文字の列がAとなるのは、2回目に563回目に12が出る(確率は、)か、あるいは、1回目に12が出て、2回目に14のどれかが出て、3回目に56が出る(確率は、)か、のいずれかの場合で、その確率は、
() 5 (エオ) 27 ......[]
何も書かれていない文字の列となるのは、2回目と3回目に56が出る(確率は、)か、1回目と3回目に56が出る(確率は)か、のいずれかの場合ですが、両者にはともに、3回とも56が出る場合(確率は、)が含まれるので、重複する場合を除いて、求める確率は、
() 5 (キク) 27 ......[]

(3) 文字数が3になるのは、3回とも14が出た場合で、その確率は、
() 8 (コサ) 27 ......[]
文字数が2になるのは、1回目に56が出て、2回目と3回目に14が出た場合で、その確率は、
() 4 (スセ) 27 ......[]
文字数が0になる確率は、(2)より
(2)より、文字列がAとなる確率がなので、Bとなる確率も
文字数が1になる確率は、
求める期待値は、
(ソタ) 14 () 9 ......[]


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  1. 2008/01/21(月) 22:56:41|
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