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大学入試問題を考える - 数学・物理 -

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理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

センター数学IIB'07年第4問

 センター数学IIB '07年第4問 

Oを原点とする座標空間に4ABCDがある。とし、線分ABaに内分する点をE,線分CDaに内分する点をFとする。
(1) aを用いて
   
と表される。さらに、に垂直であるのはのときである。
(2) とする。として、線分EFbに内分する点をGとすると、bを用いて
   
と表される。
(3) (2)において、直線OGと直線BCが交わるときのbの値と、その交点Hの座標を求めよう。
Hは直線BC上にあるから、実数sを用いてと表される。また、ベクトルは実数tを用いてと表される。よって
   
である。したがって、点Hの座標は
   
である。また、点Hは線分BC1に外分する。

解答 見易くするために、ベクトルを縦ベクトルで書いて計算して行きます。

(1) 線分ABaに内分する点をEの位置ベクトルは(空間ベクトルを参照)

線分CDaに内分する点をFの位置ベクトルは、


(アイ) 2 (ウエ) 2 () 1 () 4 ......[]

より、

() 1 () 4 ......[]

(2) のとき、
線分EFbに内分する点をGの位置ベクトルは、

() 3 () 2 () 4 () 1 () 2 () 1 ......[]

(3) より、
より、

一方、


3式より、
1式のsを第2式に代入して


1式より、
() 3 () 4 () 3 () 2 () 4 ......[]
これより、
() 3 () 2 (ニヌ) 1 () 1 ......[]
より、HBC31に外分する点。
() 3 ......[]


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(C)2005, 2006,2007 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2007/09/24(月) 10:30:40|
  2. センター数学'07年
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センター数学IIB'07年第3問

 センター数学IIB '07年第3問 

三つの数列がある。
(1) 数列は、初項がで、漸化式
    ()
を満たすとする。このとき
   
である。数列の初項から第n項までの和
   
である。また、となる最小の自然数nである。

(2) n項がで与えられる数列は、初項が0で公差がdの等差数列になり、第n項がで与えられる数列は、初項がxで公比がrの等比数列になるとする。このとき
   
と表される。

(3) 数列(1)(2)を満たすとする。さらに、第n項がで与えられる数列の階差数列は、数列であるとする。このとき
   
であるから、(1)より
   
である。したがって、数列の第n項は、それぞれ
   
   
である。

 ・・・① ()
において、xに置き換え、
 ・・・②

①-②を作ると、
これは、が、初項:,公比:3等比数列であることを意味します。

 ・・・③
() 3 (イウ) 30 ......[]
数列の初項から第n項までの和(等比数列を参照)

() 3 () 2 () 3 () 1 ......[]

となる最小の自然数n5
() 5 ......[]

(2)  ・・・④ (等差数列を参照)
 ・・・⑤
④×2+⑤より、
 ・・・⑥
④-⑤×2より、
 ・・・⑥
⑤+⑥より、 ・・・⑦
() 3 () 5 () 1 () 5 ......[]

(3) 数列階差数列は、

これが、に等しいので、③より、

両辺を見比べて、




() 3 (セソタ) 15 () 2 (ツテト) 50 ......[]
⑥より、

⑦より、

() 3 () 2 (ヌネ) 20 () 3 (ハヒ) 10 ......[]


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  1. 2007/09/24(月) 10:29:30|
  2. センター数学'07年
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センター数学IIB'07年第2問

 センター数学IIB '07年第2問 

として、xの関数
   
   
とする。
(1) 二つの関数の差
   
と表され、xの方程式が異なる二つの実数解をもつようなaの範囲は
   
である。
また、のとき、最大値
   
をとる。
(2) (1)で得られた最大値を
   
と表す。aの関数と考えるとき、で最大値をとる。
(3) のとき、曲線と曲線の二つの交点PQの座標は
   PQ
であり、二つの曲線で囲まれた部分の面積S
   
である。
さらに、交点Pにおける曲線の接線と曲線の接線がなす角をq ()とすると
   
である。

解答 単なる計算問題ですが、ボリュームがあるので、計算速度が問われます。
()()をミスすると全滅になるので、ここを丁寧に何度も確認してください。の展開をミスしたばかりに、ペースを崩し、東大どころか、センター試験以降の入試を全て失敗してしまう、という悪夢が起こりうるのです。
途中で枠にはまらなくなったら、必ず、一番最初から見直すこと。

(1)

(アイ) 3 () 3 () 3
とすると、
これの判別式Dより(2次方程式の一般論を参照)

より、
() 2 () 3 ......[]

これは、のとき、最大値をとります(2次関数の最大最小を参照)
() a () 2 () 4 (コサ) 12 () 2 ......[]

(2)


a 2
0
4
増減表より、のとき、最大値は4 (3次関数の最大最小を参照)
() 2 () 4 ......[]

(3) のとき、


より、
交点は、PQ
() 0 () 3 () 2 () 3 ......[]
二つの曲線で囲まれた部分は、の範囲にあり、この範囲において、 (は、この範囲内で正の最大値をとります)であることから、求める面積は(定積分と面積を参照)
 (定積分の公式を参照)
() 9 () 2 ......[]
Pにおける、曲線接線の傾きを,曲線の接線の傾きをとして、


ここで、両接線のなす角の正接を、
 (正接の加法定理を参照)
として計算すると、になっているので、 ()として、

() 9 () 7 ......[]
ここで、不運にも、と計算した場合には、は鈍角なので、という条件に合わせて、補角の方を考え、を解答にします。


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  1. 2007/09/21(金) 12:13:59|
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センター数学IIB'07年第1問

 センター数学IIB '07年第1問 

[1] 不等式
   
を満たすxの範囲を求めよう。ただし、とする。
とおくと、与えられた不等式は
   
となる。左辺の因数分解を利用してxの範囲を求めると
    または 
である。

解答  ・・・①
左辺は、
2倍角の公式より、
右辺は、加法定理により、

よって、とおくと、①は、


() 4 () 2 () 2 ......[]
左辺を因数分解して、

かつ ' ・・・② または ‘ かつ ' ・・・③
②のとき、 かつ
右図より、 (三角関数を含む方程式・不等式を参照)
③のとき、 かつ
右図より、
() 6 () 2 () 3 () 5 () 6 () 4 () 3 ......[]



[2] 不等式
   
の表す領域を求めよう。
yは対数の底であるからである。真数は正であるからである。ただし、対数に対し、aを底といい、bを真数という。
また、
   
であるから、与えられた不等式は
   
となる。よって、
    のとき、
    のとき、
となる。
求める領域を図示すると、次の図の影をつけた部分となる。ただし、境界(境界線)は含まない。に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。

解答 y対数の底であるから、
() 0 () 1 ......[]
真数は正であるから、
 ・・・①
() 2 ......[]

() 2 () 4 ......[]
これより与えられた不等式は(対数を含む方程式・不等式を参照)


() 1 ......[]
分母を払うのですが、 () ()で場合分けして、
のとき、 ・・・②
のとき、 ・・・③
() 1 () 3 () 0 ......[]
②より、のとき、
③より、のとき、,但し、①より、
これを図示すると右図のようになります。
()  ......[]


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  1. 2007/09/21(金) 12:13:10|
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センター数学IA'07年第4問

 センター数学IA '07年第4問 

1辺の長さ1の正六角形があり、その頂点の一つをAとする。一つのさいころを3回投げ、点Pを次の(a)(b)(c)にしたがって、この正六角形の辺上を反時計回りに進める。
(a) 頂点Aから出発して、1回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。
(b) 1回目で点Pがとまった位置から出発して、2回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。
(c) 2回目で点Pがとまった位置から出発して、3回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。

(1) 3回進めたとき、点Pは正六角形の辺上を1周して、ちょうど頂点Aに到達する目の出方は通りである。
3回進める間に、点P1回も頂点Aにとまらない目の出方は通りである。

(2) 3回進める間に、点P3回とも頂点Aにとまる確率はであり、ちょうど2回だけ頂点Aにとまる確率はである。
3回進める間に、点Pがちょうど1回だけ頂点Aにとまる確率はである。

(3) 3回進める間に、点Pが頂点Aにとまる回数の期待値は回である。

解答 (アイ)は数えてしまう方が速いと思います。

(1) 3回で1周して、ちょうどA点に到達するのは、3回の目の和が6になるときで、
10通り。
(アイ) 10 ......[]
別解 3回各回に1ずつ振り分け、残り3を異なる3回各回から重複を許して3とると考えると(重複組み合わせを参照)
通り

各回とも、PがどこにいてもAに行く目の出方は1通りA以外に行く目の出方は5通りです。
3回とも、PAに来ないのは、通り。
(ウエオ) 125 ......[]

(2) さいころを3回振ったときの目の出方は、通りあります。
P3回ともAに来るのは、3回とも6が出る場合で1通り。その確率は、
() 1 (キクケ) 216
ちょうど2Aに来るのは、Aに来ないときが1回目なのか、2回目なのか、3回目なのか、3通りあり、その各1通りで、通りの目の出方があるので、合わせて、通り。
その確率は、
() 5 (サシ) 72 ......[]
ちょうど1Aに来るのは、Aに来るのが1回目なのか、2回目なのか、3回目なのか、3通りあり、その各1通りで、通りの目の出方があるので、合わせて、通り。
その確率は、
(スセ) 25 (ソタ) 72 ......[]

(3) PAに止まる回数の期待値は、
() 1 () 2 ......[]


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  1. 2007/09/20(木) 11:17:29|
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