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大学入試問題を考える - 数学・物理 -

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理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

京大理系数学'07年前期[6]検討

京大理系数学'07前期乙[6]検討

[6](解答はこちら) 問題文中に登場する関係式を関数方程式と言います。最近の受験生には物珍しいかも知れませんが、以前は入試問題としてもよく取り上げられていたテーマです。「任意の実数ab」に対して成立している、と、書かれているので、abに適当に数値代入していくと、関数の性質が導かれるだけでなく、解答の追記に書いたように、関数の形を決めてしまうこともできます。

この問題の関係式と類似の関係式:
 ・・・①
が、特定の実数を除く実数abについて成り立つとします。
が存在するとして、としてみると、
分母を払って、

仮にが恒等的に1であるとすると、①の分母が0となって、が定義できなくなるので、となるaをとれば、
となります。
x0に近い値のときにはが定義できて、かつ、微分可能でだとします。abの定義域内の実数だとして、とすると、

従って、x0に近い値のときには、
 ・・・②
となります。
と書いて、
逆関数の微分法の公式より、
よって、
 (‘00年京大理系後期[6]で取り上げられています)
()とおくと、
 (C:積分定数)
これより、
0に近い値なので、とします。

関係式①は、正接の加法定理:
 ・・・③
を表しています。つまり、③のような加法定理が成り立つ関数がだということです。
京大乙
[6]は、関係式が微妙に①と異なっていますが、正接と類似の加法定理が成り立つ関数で、双曲線関数と呼ばれる関数の中のを取り上げています。の場合は定義できないところがあるので問題にしづらいのですが、ならすべての実数で定義できるので、入試問題として取り上げやすいというわけです。


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京大理系数学'07年前期乙[5]検討

京大理系数学'07前期乙[5]検討

[5](解答はこちら) なら、だからである、というような解答では、もちろん、点数はもらえません。「3以上の自然数mで初めて」という条件が見落とされてしまいます。
行列のべき乗
が登場するのですが、行列Aの具体的な形が与えられているわけではなく、行列のべき乗を求めるわけでもなさそうです。
であれば、ハミルトン・ケーリーで次数下げするのだろう、ということになります。
A2次の正方行列であれば、ハミルトン・ケーリーを使うと、Aのべき乗は、A1次式で表せます。これで、A1次式で表しておき、にかけて、
とやるのだろう、というアウトラインが見えてきます。
ということが言いたいので、を示したいわけですが、については、だとして変なことが起きないか、と、期待すれば、「3以上の自然数mで初めて」という条件に活躍の場が出てくるわけです。
試験会場では、なかなかそうはうまく発想できないかも知れません。問題によっては、あちこち掘り返して、全く違う角度から眺めると発想できる、という問題もありますが、それに比べれば、この問題は自然な発想で解ける問題です。


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京大理系数学'07年前期乙[4]検討

京大理系数学'07前期乙[4]検討

[4](解答はこちら) [4]は平面幾何で解答しましたが、この問題は、「外心」を扱うのに、を考えるのであれば、図形で長さを問題にするので、ベクトルが良い、ということになります。
素直にベクトルの大きさを考え、内積の関係:
が得られてしまえば、どのようにも料理できます。


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京大理系数学'07年前期乙[1]検討

京大理系数学'07前期乙[1]検討

[1](解答はこちら) 問1という積分は、まずは、根号tとおきます。ですが、となってしまうので、が残ってしまいます。
ここは、
という形ですが、という形の積分も時々見かけます(とします)。どちらも手間はかかりますが、と教科書流に置いて積分を行えます。
より、

 (C:積分定数)
とおくと、

 (:積分定数)


この問題ではノー・ヒントなのですが、通常は、は、
を参考にせよ、というヒントがつくので、ヒントに従って、
 (:積分定数) ・・・①
とすればよいと思います。
については、部分積分を行って、

より、右辺に出てきたを左辺に移項して、
ここで、①を使って、
 (:積分定数)
とします。

解答に書いたように、
と置けば、
より、
 (:積分定数)
また、2乗して、


 (:積分定数)
より、



2は、重複組み合わせが出てこない分だけ、別解の方が簡単に済みます。1歩で2段上る回数が5回以下ということをつかんだら、同じ位置に1個しか入らない方を後から入れていく方が良いということです。


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京大理系数学'07年前期甲[6]検討

京大理系数学'07前期甲[6]検討

[6](解答はこちら) 基本的な回転体の求積問題です。曲線を回転してできる回転体の内側が円錐状にくりぬけるので、曲線を回転してできる回転体の体積から円錐の体積を引けば答えが出ます。
解答では、微分計算も大したことはないので、微分して増減を調べていますが、わかりやすくするためです。回転体の形状さえつかめればよいので、積分範囲、何が外に来て内に来るか、という情報が得られればよいのです。問題によっては、微分計算が大変なものもあるので、ムダな時間を使わないように注意してください。

こうした問題では、計算ミスが命取りになります。入試の採点でも、京都大学の多忙な先生が、部分積分の途中の計算過程まで追ってくれるとはとても思えません。
という定積分が出てきますが、部分積分を2回行うと、マイナスの個数を勘違いしたり、2で割るのを忘れたりして、計算ミスを誘発しやすいので、
を利用して、以下のような計算をする方が計算ミス対策としては良いかも知れません。
とすると、

これより、
 (C:積分定数)
となるので、
労力は大して変わりませんが、計算ミスのリスクは減ると思います。


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