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東大理系数学'08年前期[6](再掲)

東大理系数学'06年前期[6]

を定義域とする関数について、以下の問いに答えよ。
(1) 関数 ()は、実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ。すなわち、任意の実数aに対して、となるがただ1つ存在することを示せ。
(2) 前問(1)で定められた逆関数を ()とする。このとき、定積分を求めよ。

解答 逆関数と言っても、元の関数とグラフのx軸,y軸が逆になるというだけなので、怖がらないようにしましょう。

(1)  (商の微分法を参照)
分子
よって、 ()
よって、において、単調増加な関数です。
の分子はのときですが、の分母はとするとき、正の数として0に近づくので、
また、のとき、より、
以上より、任意の実数aに対して、となるがただ1つ存在し、は実数全体を定義域とする逆関数をもちます。

(2) 逆関数のグラフは、のグラフと直線に関して対称で、のグラフのx軸とy軸を逆にしたものと考えることができます。
のとき、という関係があります。
求める定積分は、のグラフのの部分とx軸との間に挟まれた部分の面積です(定積分と面積を参照)
となるについて、が成り立ちます。の定義域がであることから、であることに注意してください。
(
より)とおいて、
分母を払って整理すると、

このうち、に適するものは、
(より)とおいて、
分母を払って整理すると、

このうち、に適するものは、
以上より、求める定積分は、のグラフのの部分とy軸との間に挟まれた部分(右図斜線部)の面積に相当します。
この面積は、原点O4点を頂点とする長方形の面積から、原点O4点を頂点とする長方形の面積と、のグラフのの部分とx軸の間に挟まれた部分の面積を除いた面積に相当します。よって、
の積分について(置換積分法を参照)は、とおくと、より、
xのとき、t
 (分数関数の積分を参照)



......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2008/03/24(月) 14:21:51|
  2. 東大数学'06年
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東大理系数学'06年前期[5](再掲)

東大理系数学'06年前期[5]

とし、数列を漸化式
  ()
によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) に対し、とおく。
のとき、となることを示せ。
(2) を求めよ。
(3) を求めよ。

解答 難問というわけではないですが、それなりに工夫を凝らす必要があって一本道ではありません。なお数列を参照してください。

(1) より、 ・・・①
 () ・・・② より、
 ・・・③
②より、で、ならで帰納的に、に対して、 ・・・④ (数学的帰納法を参照)
よって、についても、に対して、
これと、③より、
①を用いて、のとき、

(2) ④より、 ・・・⑤
また、(1)より、
これより、のとき、
 ・・・⑥

ところで、のとき、なるxについて、
等号は恒等的に成り立つわけではないので、
について加え、さらに、を用いて、左辺にを加え、中辺と右辺に1を加えると、
左辺は、 (不定積分の公式を参照)
右辺は、
各辺をnで割ると、
 ・・・⑦

とおくと、
x04
×0
×
増減表より、
両辺をx ()で割ると、
ここで、とすることにより、
よって、はさみうちの原理より、
これより、⑦の左辺と右辺は、のとき、だから、ともに0に近づく。
はさみうちの原理より、⑦の中辺についても、
 ・・・⑧
⑤,⑥を用いて、
さらに、はさみうちの原理より、
......[]

(3) (1)よりが言えているので、 ・・・⑨
従って、となるで、となるものを探せばよいのです。
このためには、,つまり、という形の不等式をひねり出さないといけません。
③をながめていると、を利用すれば、この形が作れそうです。

③において、のとき、より、
①を用いて、のとき、

これより、
これと、⑨から、
⑧を使うと、左辺は、のとき、
よって、はさみうちの原理より、 ......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2008/03/24(月) 14:20:40|
  2. 東大数学'06年
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東大理系数学'06年前期[4](再掲)

東大理系数学'06年前期[4]

次の条件を満たす組を考える。
条件(A)xyzは正の整数でおよびを満たす。
以下の問いに答えよ。
(1) 条件(A)を満たす組となるものをすべて求めよ。
(2) が条件(A)を満たすとする。このとき、組が条件(A)を満たすようなzが存在することを示せ。
(3) 条件(A)を満たす組は、無数に存在することを示せ。

解答 とりたてて難問というほどではありませんが、試験会場で、どれだけ冷静に考えることができるか、という問題です。

(1) のとき、
これを満たす、正の整数xzは存在しません。

のとき、
これを満たす、正の整数xzは存在しません。

のとき、
より、に限られます。

i) のとき、
これを満たす正の整数zは存在しません。

ii) のとき、
これを満たす正の整数zは存在しません。

iii) のとき、


以上より、 ......[]

(2) が条件(A)を満たすので、 ・・・① が成立します。
このとき、組が条件(A)を満たすなら、が成り立つはずです。
このとき、①より、,よって、

について、であることが示せれば良いのですが、の場合と、それ以外の場合とで分けて調べます。
であれば、として、条件(A)を満たす組が存在します。
または、である場合、(1)より、ゆえ、の両辺にをかけて、
より、
よって、
 ・・・②
よって、組は条件(A)を満たします。
以上より、組が条件(A)を満たすようなzが存在します。

(3) から出発して、組から組を求めるという手順で、条件(A)を満たす組を次々に求めていったとします。
実際に求めていくと、となっていきます。

条件(A)を満たす、n番目の組 ()が存在することを数学的帰納法により示します。
のとき、 とすれば、(1)により、1番目の組が存在します。
のとき、とすれば、(1)により、2番目の組が存在します。
のとき、条件(A)を満たす組が存在すると仮定します。
として、(2)より、とすれば、条件(A)を満たす組が存在します。
よって、のときも、条件(A)を満たす、n番目の組が存在します。
数学的帰納法により、となる整数nに対して、条件(A)を満たす、n番目の組が存在します。

の場合に、(2)の中で、として、より、であり、
のときに、(2)の中で、として、であれば、 (②の不等号の等号を除くことができる)
従って、すべてのについて、

以上より、すべてのについて、条件(A)を満たす組は異なります。
正の整数は無数に存在するので、条件(A)を満たす組も無数に存在します。


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2008/03/24(月) 14:19:41|
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東大理系数学'06年前期[3](再掲)

東大理系数学'06年前期[3]

Oを原点とする座標平面上に、y軸上の点Pと、直線mが与えられている。ここで、とする。
いま、傾きが
aの直線lを対称軸とする対称移動を行うと、原点Oは直線上の、第1象限の点Qに移り、y軸上の点Pは直線m上の、第1象限の点Rに移った。
(1) このとき、apで表せ。
(2) 次の条件を満たす点Pが存在することを示し、そのときのpの値を求めよ。
条件:どのようなq ()に対しても、原点を通り直線lに垂直な直線はとなる。

解答 気力を充実させて、ただひたすら計算をする問題です。なお、座標平面における対称を参照してください。

(1) 直線lの方程式をQx座標をqRx座標をrとする。
題意より、,またm上にない点Plに関する対称点がm上に来ることから、
Oと点Qが直線lに関して対称だから、

 ・・・①
Pと点Rが直線lに関して対称だから、
前者より、 () ・・・②
後者から①を引いて、

 ()
これを②に代入すると、
分母を払って、


......[]

(2) が出てくるので正接に関する3倍角の公式を導いておきます。
 (2倍角の公式を参照)

 ・・・③
条件より、 (2直線の平行・垂直を参照)
 ・・・④
③において、として、
(1)の結果を用いて、
分母を払うと、
展開して整理すると、
 ・・・⑤
q aの間には、④という関係があるので、⑤が、q にかかわらず、すなわち、aにかかわらず成立するためには、 ......[]
Pとすれば、任意のq ()に対して④が成立するようにaをとれば、直線lが垂直になり、与えられた条件が成立するので、点Pは存在します。


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2008/03/23(日) 22:14:57|
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東大理系数学'06年前期[2](再掲)

東大理系数学'06年前期[2]

コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの経過に関係なく、pであるとする。
 最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含めて
3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率をとする。ただし、記号○がn個出た段階で操作は終了する。
(1) pで表せ。
(2) のとき、pnで表せ。

解答 こういう問題こそ、ケアレスに注意してください。なお、確率を参照してください。

(1) 記号×が3個出るよりも前に、記号○が2個出るのは、以下の場合です(なお、積事象・和事象・余事象を参照)
・×○○  ・・・・・・ 確率は、
・×○×○  ・・・・・・ 確率は、
・××○○  ・・・・・・ 確率は、
よって、
......[]

(2) 記号×が3個出るよりも前に、記号○がn個出るのは、以下の場合です。
  ・・・・・・ 確率は、
  ・・・・・・ ×の入る位置が○1個の次から○個の次まで通りあり、確率は、
  ・・・・・・ 確率は、
よって、
......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2008/03/23(日) 22:14:02|
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