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東大物理'07年前期[3]検討

東大物理'07前期[3]検討

[3](解答はこちら) ‘07前期[1]'07前期[2]とは一転して難問です。ⅠからⅡ(1)までは、経路差、干渉の条件を聞いているだけなのでスンナリ来ると思います。
問題はまず、Ⅱ
(2)です。問題文の言っていることがつかめるでしょうか?すき間内のある位置からP点にやってくる波は、(1)より、からP点にやってくる波と経路差を持っていますが、この分だけ位相が進んでいます。振幅の違いを無視して考えると、からP点に来る波がだとして、からP点に来る波はです。問題文では、をみたすすべての点からP点にやってくる波について、の値が同符号になるようなwはどうなるのか、と、聞いています。からP点に来る波の変位がゼロとなる瞬間、と言っているので、として考えると、が同符号だということは、,つまり、ということです。なので、wについて、となります。ここは、題意がつかめて正弦関数のグラフを思い浮かべれば、解答できるでしょう。
(3)は、ほとんどの受験生が単スリットの干渉条件を考えてミスし、正解者はほとんどいないだろうと思います。高校物理の波動では、2波が干渉して強め合うかどうか、ということを扱いますが、多数の波が重ね合わされた場合に振幅がどうなるか、という波を積分したものは扱いません(強いて言えば、ホイヘンスの原理だけです)。ずーっとプラスのものを足し合わせれば増える、マイナスのものを足すようになると減る、というだけのことで、Ⅱ(2)の意味を冷静に考えれば高校の範囲でできないわけではありませんが、ちょっと、入試問題として無理なのではないか、という気がします。
Ⅲは、Ⅱ
(3)を用いて考えるので、Ⅱ(3)をミスすると自動的にアウトになります。
結局、この問題は、題意を把握できるかどうかでⅡ
(2)の出来不出来が分かれる程度で、ほとんどの受験生がⅠとⅡ(1)を正解、Ⅱ(3)とⅢは不正解となってしまい、全く差がつかなかったのではないかと思います。
受験生の立場からすると、どうせ受験技巧的なものではⅡ
(3)は対処できないのです。教科書レベルの基礎事項をガッチリ固めて、得点できる問題は確実に得点をしておこう、ということになるでしょう。


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  1. 2008/09/05(金) 11:48:59|
  2. 東大物理'07年
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東大物理'07年前期[1]検討

東大物理'07前期[1]検討

[1](解答はこちら) この問題で要求されている基礎事項は、2力の合成、復元力、単振動の運動方程式、相対速度の考え方、静止摩擦力、力学的エネルギー保存則といったことです。レベルとしては、教科書レベルで充分です。Ⅱ(4)がやや高レベルですが、基礎がしっかりできている受験生であれば、本問は完答も不可能ではありません。
しかしながら、基礎事項の理解に不充分な点があると、至る所に引っかかるポイントが散りばめられています。
(1)はグラフを選ぶだけですが、問題文の単振動のグラフに惑わされると、勘違いしかねません。箱の運動の状況、ベルトに対してどう動いているか、ベルトに対して静止していれば静止摩擦力が働く、という物理的状況をしっかりつかまないと、正解は困難です。
(2)は力のつり合いの式、(3)は力学的エネルギー保存則の式を書くだけなのですが、やはり箱の運動の状況をつかんでおくことが必須です。
ここまでは、教科書をしっかり読み込んでおきさえすればできます。問題集の解答を斜め読みして暗記するような努力は物理では役には立ちません。まずは基礎を固めることが大切だということをしっかりと頭に入れておいてください。
(4)は、垂直抗力の大小によって、問題文中の単振動のグラフがどうなるのか、ということが図示できれば、ほぼ明らかなことです。振幅が変化しても単振動の周期が変わらないこと、滑り出すときに連続的に速度が変化することがつかめていれば、理由を説明することもできるでしょう。
くどいようですが、物理を得点源とするためには、まずは、教科書をバイブルとして熟読し、基礎事項や物理法則をしっかり理解することに力を入れるようにしてください。


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  1. 2008/09/04(木) 13:53:03|
  2. 東大物理'07年
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東大物理'07年前期[3](再掲)

東大物理'07年前期[3]

 図31のように、水面上で、波長lの波が左から右にまっすぐ進み壁に垂直に衝突している。壁に沿った方向をx方向とし、壁には自由にすき間を開けることができるようになっているとする。すき間を通った波を壁の右側の点で観測する。以下の問に答えよ。

Ⅰ 点Pは充分遠方にあるとし、図31のようにから見たP方向の角度をq とする。問Ⅰ(1)(2)で開けるすき間はすべて同じ幅とする。また、そのすき間の幅は波長lに比べて小さいので、各すき間からは、そこを中心とする円形波が図の右側に広がっていくと考えてよい。
(1) 壁のの位置にすき間Aを開け、わずかにずれた位置x ()にすき間Bを開ける。すき間Bを開ける位置を少しずつxの正の方向に動かしていくと、になったとき、それまで振動していた点Pでの水面が初めて動かなくなった。blq を用いて表せ。ただし点Pは十分に遠いので、すき間Bから見たP方向の角度もq としてよい。
(2) 問Ⅰ(1)のようににすき間がある状態で、すき間C ()に開けると、点Pでの水面は振動を始めた。さらにもう一つ、にできるだけ近い位置にすき間Dを開けることによって、点Pでの水面の振動を止めたい。すき間Dx座標を求めよ。
Ⅱ 次にすき間の幅が広い場合を考えよう。点Pは問Ⅰと同じ位置にあるとする。すき間の一方の端を,他方の端をとする(32)。以下の問については、すき間内の各点から円形波(素元波)が右に広がっていき、その重ね合わせが点Pでの水面の振動になると考えよ。
(1) すき間内のある位置 ()から点Pまでの距離と、すき間の端から点Pまでの距離の差を、q を用いて表せ。
(2) から出た円形波の変位が点Pでゼロである瞬間に、すき間内の各点 ()からくる円形波のすべての変位が点Pで同符号である(強め合う)ためには、すき間の幅wはどのような条件を満たしていなければならないか。
(3) すき間の幅をからまで増やしたとき点Pでの波の振幅はどのように変化するか、理由を付けて答えよ。ただしbは問Ⅰ(1)で求めた値である。
Ⅲ 今度は点Pは壁の近くにあるとし、壁との距離をLとする。図33のように、点Pの真正面にすき間を開ける。そのすき間の幅をゼロから増やしていくと、幅がになったとき点Pでの振幅が最大になった。rLlを用いて表せ。

解答(1) AからPまでの経路とBからPまでの経路の長さの差(経路差)波長の整数倍+半波長になると、両波は干渉して弱め合います。Bx軸正方向に動かして初めて弱め合うのは、経路差が半波長のときです。経路差は右図より,両波が弱め合う条件は、
......[]

(2) Aから来る波とBから来る波は既に弱め合っているので、Cから来る波とDから来る波が弱め合えばよいということになります。すき間Dx座標dとすると、その条件は、両者の経路差半波長ということで、

......[]
(1) Pが十分遠方にあることから、Ⅰ(1)と同様に、右図より、距離の差は、 ......[]

(2) すき間の両端での経路差が半波長以下であれば、A ()から出た円形波の変位Pにおいてゼロのときに、すき間の各点からくる円形波の変位が同符号になります(経路差半波長以下ということは、位相差p以下ということです。であればというところから考えてください)
右図より、すき間の両端の点からPまでの経路差なので、
......[] (つまり、Ⅰ(1)より、です)
(3) (2)の条件()が満たされている間は、すき間を通過する波の強め合う効果により、wを大きくすると、すき間の幅が広がり通過する波が増えることによって、Pにおける振幅は次第に大きくなり、のときに最大になります。においては、すき間を通過する波の中に打ち消し合う効果が起きて、wを大きくすると、Pにおける振幅は次第に小さくなります。のときに、すき間の下半分を通過する波と上半分を通過する波が逆位相(位相のズレがp)となり、振幅は最小になります(右図)
においては強め合う波が増え、においては打ち消し合う波が増えてくるので、から次第に増加してで最大となり、まで減少する。 ......[]

参考 右図のように、すき間を上半分と下半分に分けて、それぞれから来る波を考え、単スリットの効果を調べます。
下半分の中のの位置からPにくる波と、上半分の ()の位置からPにくる波の経路差は、波長lとすると、この経路差による位相のズレd は、Ⅰ(1)の結果を用いて、
波の周期Tとして、振幅の違いを無視して両波を重ね合わせると、
の値によって、Pにおける波の振幅を評価できます。からまで変わるとき、は、1から0まで変化します。
すき間を2つに分けるとき、上半分から来る波と下半分から来る波の干渉により、波が強め合う効果は、において最大で、において最小になります。
従って、において、wを大きくするときにP振幅が大きくなるのは、単スリットとしての効果ではなく、すき間を通過して干渉する波の量が増えることによっているのです。
右図のように、wがある程度の大きさだとして、すき間をn等分し、各部分からくる波を合成することを考えてみます。すき間を通過する波の振幅が各部分のに比例するとします。から来る波とk番目の部分からくる波の経路差です。とすると、Pにおける合成波は、区分求積法により、



これによると、は振動を表すので、0からwを大きくしていくとき、合成波の振幅が増大して、で最大となり、以後減少し、においてゼロになるという結果が得られます。
Ⅲ すき間の中心をとして、から来るPに来る波と、からPに来る波は、経路差はゼロなので強め合います。つまり、Pにおいて、上半分から来る波と、下半分から来る波は必ず強め合います。ということは、Pにおける振幅が最大になるのは、すき間の上半分を通過してPに来る波の合成波の振幅が最大になるときです。
(2)(3)において、のときにPにおける振幅が最大になったのは、すき間の上端とPとの距離、下端とPとの距離の差がになるような位置関係だったからです。
従って図33においても、すき間の上端とPとの距離、すき間の中心とPとの距離の差が半波長のときに、Pにおける振幅が最大になるはずです。右図より、

......[]


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  1. 2008/03/22(土) 20:19:38|
  2. 東大物理'07年
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東大物理'07年前期[2](再掲)

東大物理'07年前期[2]

 図21(a)のように、導体でできた中空の円筒を鉛直に立てて、その中に円柱形の磁石をN極が常に上になるようにしてそっと落したら、やがてある一定の速さで落下した。これは、磁石が円筒中を通過するとき、電磁誘導によりその周りの導体に電流が流れるためである。磁石の落下速度がどのように決まるかを理解するために、導体の円筒を、図21(b)のように、等間隔で積み上げられたたくさんの閉じた導体リングで置き換えて考えてみる。以下の問に答えよ。

Ⅰ まず、図22のように、1つのリングだけが水平に固定されておかれており、そのリングの中心を磁石が一定の速さvで下向きに通り抜ける場合を考える。z座標を、リングの中心を原点として、鉛直上向きが正になるようにとる。磁石はz軸に沿って、z軸の負の向きに運動することに注意せよ。
(1) 磁石がリングに近づくときと遠ざかるとき、それぞれにおいて、リングに流れる電流の向きと、その誘導電流が磁石に及ぼす力の向きを答えよ。電流の向きは上向きに進む右ねじが回転する向きを正とし、正負によって表せ。
(2) 磁石の中心の座標がzにあるとき、に置かれたリングを貫く磁束を、図23のように台形関数で近似する。すなわち磁束は、区間0から最大値に一定の割合で増加し、区間で最大値から再び0に一定の割合で減少するとする。ここで磁束の正の向きを上向きにとった。磁石が通過する前後に、このリングに一時的に誘導起電力が現れる。その大きさをvabを用いて表せ。
(3) リング一周の抵抗をRとしたとき、誘導起電力によって流れる電流の時間変化のグラフを描け。リングに電流が流れ始める時刻を時間tの原点にとり、電流の正負と大きさ、電流が変化する時刻を明記せよ。ただし、リングの自己インダクタンスは無視してよい。

Ⅱ 次に、図21(b)のように、鉛直方向に問Ⅰで考えたリングを密に積み上げ、その中を問Ⅰと同じ磁石が通過する場合を考える。鉛直方向の単位長さあたりのリングの数をnとする。
(1) リングに電流が流れるとジュール熱が発生する。磁石が速さvで落下するとき、積み上げられたリング全体から単位時間当たりに発生するジュール熱を求めよ。
(2) 磁石の質量をM,重力加速度をgとしたとき、エネルギーの保存則を用いると磁石が一定の速さで落下することがわかる。その速さvを求めよ。ただし、このとき空気の抵抗は無視できるものとする。

Ⅲ 図21(a)で、磁石のN極とS極を逆にして実験を行うと、磁石はどのような運動を行うか、その理由も示せ。

解答(1) ・磁石がリングに近づくとき、リングによって形成されるコイルを貫く上向きの磁束は増大し、上向きの磁界が強くなるので、レンツの法則により、コイルにはこれを抑える向き、つまり、下向きの磁界を作る方向に誘導起電力が発生します。右ねじの法則より、(右ねじが下向きに進むことになるので)誘導電流の向きは負 ......[] (上から見ると誘導電流は時計回りに流れます)
コイルに向かい合っているのはS極で磁荷をもっており、誘導電流が作る下向きの誘導磁界と逆向きが働く(磁界を参照)ので、誘導電流が磁石に及ぼすの向きは、z軸正方向 ......[]

・磁石がリングから遠ざかるとき、コイルを貫く上向きの磁束が減少し、上向きの磁界が弱まるので、レンツの法則により、コイルにはこれを抑える向き、つまり、上向きの磁界を作る方向に誘導起電力が発生します。右ねじの法則より、(右ねじが上向きに進むことになるので)誘導電流の向きは正 ......[]
コイルに向かい合っているのはN極で磁荷をもっており、上向きの誘導磁界と同じ向きが働くので、誘導電流が磁石に及ぼすの向きは、z軸正方向 ......[]

(2) リングを1回巻きのコイルと考えて電磁誘導の法則より、誘導起電力の大きさVは、
誘導起電力が現れるとき、は図2-3の範囲における傾き()であり、は磁石が落下する速さvになります。
......[] (のときも同様です)
2-3において、で一定になっている間は、誘導起電力0です。

(3) リングに電流が流れ始めるというのは、のときです。磁石がからまで進む時間は、
(1)より、における電流負の向きであって、オームの法則より、
磁石がに来るのは、のときで、における電流は、磁束が変化せず起電力が生じないので、
磁石がに来るのは、のときで、Ⅰ(1)より、における電流正の向きであって、オームの法則より、
以上より、電流のグラフは右図。

(1) 1個のリングに発生するジュール熱Qは、近づくときと遠ざかるときの2度、時間の間、一定の大きさ電流が流れることに注意して、
磁石が単位時間に通過するリングの個数は(単位長さあたりのリングの個数×1秒に落下する距離)だから、単位時間に発生するジュール熱は、
......[]

(2) 題意より、(1)で求めた単位時間に発生するジュール熱は、エネルギー保存則より、磁石が単位時間に失う位置エネルギーに等しくなります(一定速度で落下するので、運動エネルギーは変化しない)
磁石が単位時間に失う位置エネルギーは、
これを(1)の結果に等しいとおくと、
より、両辺をvで割って、vについて解くと、
......[]

Ⅲ 磁石周囲にできる磁力線の向きが逆になるので、Ⅰ(1)で考察したリングに流れる電流の向きが逆になりますが、磁石のN極とS(従って、磁荷の正負)が入れ替わっているので、磁石に働く力の向きは変わりません
リングに流れる電流の大きさ、磁石が受ける電磁力重力の大きさも、Ⅰ,Ⅱの状況と変わりはなく、Ⅰ,Ⅱと同様に、磁石は一定の速さvで落下します。速さvはⅡ(2)で求めた値と同じ値です。
2-1(a)と同じ速さで落下する。リングの誘導電流の向きが逆になるが、磁石のN極とS極が入れ替わるので磁石が受ける力の向きは変わらず、力の大きさも変わらないから。 ......[]


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  1. 2008/03/22(土) 20:18:51|
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東大物理'07年前期[1](再掲)

東大物理'07年前期[1]

 バイオリンの弦は弓でこすることにより振動する。弓を当てる力や動かす速さの影響を、図11に示すモデルで考えてみよう。長さLの軽い糸を張力Fで水平に張り、糸の中央に質量mの箱を取り付ける。箱は、糸が水平の状態で水平面と接しており、糸の両端を結ぶ線分の垂直二等分線上をなめらかに動くことができる。図11(b)のように、糸の両端を結ぶ線分の中点(太矢印の始点)を箱の変位xの原点とし、太矢印の向きを変位および力の正の向きとする。箱の変位は糸の長さに比べて十分小さく、糸の張力は一定と見なすことができる。図11(c)のように、箱の上には正の向きに一定の速さVで動いているベルトがあり、箱に接触させることができるようになっている。ベルトから見た箱の速度をベルトと箱の相対速度と定義する。ベルトと箱が接触している状態で相対速度が0のとき、ベルトから箱に静止摩擦力が働く。静止摩擦係数をmとする。ベルトから箱に働く動摩擦力および糸と箱に働く空気抵抗を無視する。

Ⅰ ベルトと箱が接触していないときの箱の運動を考える。図11(b)のように、糸の両端を結ぶ線分と糸がなす角をq [rad]とする。必要があれば、1に比べて十分に小さいときに成り立つ近似式を用いてよい。
(1) 糸から箱に働く復元力の大きさをFq を用いて表せ。また、この復元力の大きさをLFxを用いて表せ。
(2) 箱に初期変位か初期速度を与えると、箱は単振動をする。単振動の周期TLFmを用いて表せ。

Ⅱ 箱が単振動をしているとき、ベルトを一定の垂直抗力Nで箱に接触させたところ、ベルトと箱がくっついている状態と滑っている状態が交互に現れた。箱の変位x0,箱の速度がV (すなわち、ベルトと箱の相対速度が0)となる瞬間があり、この瞬間を時間の原点とする。で、箱の変位xは図12に示すように周期的に変化する(2周期分を示している)OPは直線、PQは正弦曲線の一部、QRは直線、OPQRのくり返しである。また、直線OPは点Pで正弦曲線と接している。点Oから点Rまで箱の1周期の運動に要する時間をとする。
(1) の範囲で、(a)箱の速度、(b)ベルトと箱の相対速度、(c)糸から箱に働く復元力、(d)ベルトから箱に働く静止摩擦力、を表す図を、図13()()からそれぞれ選べ。
(2) 箱がベルトに対して滑り始める点Pでの箱の変位sLFmNを用いて表せ。
(3) PQ間では、箱は問Ⅰ(2)で考えた単振動と同じ運動をする。箱の最大変位ALFmVmNを用いて表せ。
(4) ベルトから箱に働く垂直抗力Nを大きくすると、箱の最大変位Aと箱の1周期の運動に要する時間は、それぞれ、大きくなるか、小さくなるか、変わらないか、を理由とともに答えよ。理由の説明に図を用いてよい。

解答 ベルトとの摩擦がある系における単振動は、‘94年前期[1]でも採り上げられていますが、今回の問題の方が、やや頭を悩ませる部分があります。式を立ててきちんとやっていくと時間が足りなくなります。Ⅱ(1)は、グラフを選べば良いだけで、説明も求められていません。出題意図をよくつかんで解答しましょう。

(1) 右図に示すように、箱に働く復元力は、箱の変位の大きさを小さくする向きに、大きさ、 ......[]
より、
......[]

(2) (1)より、箱の加速度aとして、箱の運動方程式は、

これは、角振動数単振動を表します。
単振動の周期Tは、 ......[]

(1)(a) 箱の速度OPでは、ベルトにくっついて動くのでベルトと同じ速度Vで一定です。PQでは、単振動するので、速度時間のグラフも正弦曲線になり、Pの時点の速度Vからだんだんベルトに対して遅くなり、単振動の振動端から逆の振動端まで動いた後に、だんだん速くなって、Qの時点でベルトに追いつき、ベルトとの間が静止摩擦となり、再びベルトとともに速度Vで動くようになります。この状況を表すグラフは、() ......[]

(b) ベルトと箱の相対速度:箱の速度からベルトの速度Vを引いたものが相対速度なので、(a)のグラフをx(縦軸)負方向にVだけ平行移動したグラフになります。このグラフは、() ......[]

(c) 復元力:Ⅰ(1)より、復元力は、と表せます。OPにおいては、箱は、より出発して一定速度Vで動くので、,つまり、復元力は、となり、原点を出発する傾き負の直線です。PQでは、単振動するので、x時間のグラフと同様に、復元力時間のグラフも正弦曲線になります。この状況を表すグラフは、() ......[]

(d) 静止摩擦力OPでは、ベルトと箱の間が滑らず動かないので、ベルトと箱の間の摩擦力静止摩擦力です。静止摩擦力fとして、箱に働くの、糸に垂直な方向の力のつり合いより、

これは、原点を出発する傾き正の直線です。
PQにおいては、ベルトと箱の間は滑っているので、静止摩擦力0です。この状況を表すグラフは、() ......[]

(2) 滑りだす限界における静止摩擦力の大きさはです。このとき、,箱に働くの、糸に垂直な方向の力のつり合いより、
......[]

(3) PQにおいては、動摩擦力を無視するので、力学的エネルギー保存則が成立します(実は、動摩擦力があっても一定で、しかも一方向にのみ動いているときには、力学的エネルギー保存則が成立します。'94年前期[1]はそういう状況の問題でした)
復元力を、バネによる復元力とみなすと、バネ定数は、
Pの時点()では、箱の位置エネルギーは、運動エネルギーは、
振動端(最大変位、つまり、単振動の振幅Aより、)においては、運動エネルギー0で、箱の位置エネルギーは、
よって、力学的エネルギー保存より
(2)の結果を代入して、
......[]
(4) N→大のとき、(3)の結果より、A→大 ......[]
右図にNが小さく、単振動の振幅も小さい場合と、Nが大きく、単振動の振幅も大きい場合の変位時間のグラフを示しました。
箱がベルトにくっついて動くとき、箱は一定速度Vで動くので、グラフは傾きVの直線(右図の赤線)になります。
箱がベルトに対して滑り出すとき、箱の速度Vから急激に変化するのではなく、連続的に変化します。このことは、グラフでは、傾きVの直線(赤線)の部分と正弦曲線になる部分とがなめらかにつながることを意味します。つまり、傾きVの直線は正弦曲線の接線になっています。右図より、振幅の大きい場合(周期)O→振動端の時間は、振幅が小さい場合(周期)→振動端の時間よりも大きく、Ⅰ(2)より単振動の周期は両者で変わらないので、です。つまり、N→大のとき、箱の運動の周期→大 ......[]


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  1. 2008/03/22(土) 20:17:35|
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