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東大物理'05年前期[3](再掲)

東大物理'05年前期[3]

 レーザー光が原子に与える作用を用いることにより、原子気体を冷却し、なおかつ空間のある領域に保つことができる。そのような冷却原子気体を用いて、原子の波動性を検証する次のような実験を行った。
 図
31のように、鉛直上向きをz軸とする直交座標系を設定する。レーザー光によって冷却原子気体を点のまわりに保つ。この点からLだけ鉛直下方に、原子が当たると蛍光を発するスクリーンを水平(xy面上)に置く。これらはすべて真空中にある。冷却原子気体の空間的広がり、二重スリットの感覚d,および長さaは、Ll に比べて十分小さいとする、スクリーンの蛍光のようすは、ビデオカメラによって撮影する。
 時刻
にレーザー光を切ると、個々の原子はその瞬間に持っていた速度を初速度とし、重力のみを受けた運動を始める。一部の原子は二重スリットを通過し、スクリーンに到着する。時刻以降、原子どうしの衝突はないものとする。二重スリットを通過した原子のうち、z軸方向の初速度がゼロであったものがスクリーンに到着する時刻をとする、単位時間あたりにスクリーンに到着した原子数の時間変化は図32のようであった。原子の質量をm,プランク定数をh,重力加速度をgとする。

Ⅰ l Lに比べて十分小さく、二重スリットを通過した原子の加速は無視できるものとして、以下の問に答えよ。
(1) 二重スリットを通過した原子のうち、z軸方向の初速度がゼロであったものがスリット通過直後に持っていた速さv,およびド・ブロイ波長lを求めよ。
(2) 時刻にビデオカメラによって撮影された画像には、図33のような干渉縞が写っていた。この干渉縞の間隔を求めよ。ただし、dより十分大きく、l より十分小さいとする。必要ならば、q 1より十分小さいときに成り立つ近似式を用いよ。
(3) 時刻の前後にビデオカメラによって撮影された画像にも、図33と同様な干渉縞が写っていた。時刻tに観測された干渉縞の間隔を縦軸、時刻tを横軸として、tの関係を表すグラフの概形を描け。だたし、図32のように時刻の位置を横軸に明示すること。

Ⅱ Lを固定し、l を変化させて実験を繰り返した。ただし、l の大きさはLと同程度で、二重スリットを通過した後の原子の加速は無視できないものとする。z軸方向の初速度がゼロであった原子がスクリーンに到着する時刻に観測される干渉縞の間隔をとする。l の関係を最も適切に表しているグラフを図34()()の中から一つ選び、その理由を答えよ。

解答 Ⅱの加速度の影響については、考え込んでしまいます。

(1) 距離L落下後の速さvだから、等加速度運動の公式より、
......[]
ド・ブロイの公式より、 ......[]

(2) 33のように、蛍光スクリーン上に干渉縞と垂直にx軸をとります。
二重スリットを通過した原子の進行方向とz軸のなすq として、l より十分に小さいので、
蛍光スクリーン上で原子の到着する点のx座標xとして、
隣接する二つのスリットから蛍光スクリーンまでの距離の差は、
蛍光スクリーン上でド・ブロイ波が強め合う条件は、 (n:整数)

は、に対応する明線の間隔として
......[]

(3) にたどり着く原子はz軸負方向の初速度を持って飛び出すので、二重スリットに到達したときの速さvよりも大きく、ド・ブロイ波長(1)lよりも小さい。
従って、(2)によると、
にたどり着く原子はz軸正方向の初速度を持って飛び出し、一旦z軸正方向に進んでから落下してきます。の地点を通過するときにはz軸負方向の速度を持っており、二重スリットに到達したときの速さvよりも大きく、ド・ブロイ波長(1)lよりも小さい。
従って、この場合も、
つまり、は、において最大値をとります。
グラフは右図のようになります。

Ⅱ 二重スリット通過後、加速されて原子の速さが次第に大きくなります。落下するに従って、ド・ブロイ波長もそれに応じて次第に小さくなります。ということは、この問題では、一定の速さで空間を波動が伝わる場合と同じように干渉を考えることはできません。
ですが、二重スリット通過後、l が変化しても、干渉する2波が同じ距離を進むのであれば、2波でド・ブロイ波の変位は同じはずなので、蛍光スクリーンに近いところでの経路差の中に波長がいくつ入るかで強め合う条件、弱め合う条件を考えることができるはずです。
蛍光スクリーンまで原子は距離落下してきます。
蛍光スクリーン付近での速さとして、等加速度運動の公式より、

(2)と同様にして、
lとの関係に近い関数、 ()を考えてみます。
()
より、を縦軸、lを横軸にとってグラフを書くと、単調増加で上に凸なグラフとなります。原問題では、単調増加で上に凸なグラフの()を選びます。


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  1. 2008/04/18(金) 14:06:49|
  2. 東大物理'05年
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東大物理'05年前期[2](再掲)

東大物理'05年前期[2]

 図21のように、ボタン型磁石と薄いアルミニウムの円板を貼り合わせたものを、磁石の磁力を使って鉄釘を介して乾電池の鉄製負電極につるす。乾電池の正極からリード線をのばし、抵抗を介してリード線の他端Pをアルミニウム円板の円周上の点に触れさせると、アルミニウム円板とボタン型磁石は回転を始めた。その後、リード線とアルミニウム円板がすべりながら接触するようにリード線を保持すると、円板と磁石は回転し続けた。ボタン型磁石は、図21のように上面がN極、下面がS極で、電気を通さない。アルミニウム円板の半径をa[m]、乾電池の起電力をV[V]、抵抗の抵抗値をR[W]、アルミニウム円板を貫く磁束密度B[T]は円板面内で一様として、以下の問に答えよ。ただし、リード線とアルミニウム円板の間の摩擦、鉄釘と電池の間の摩擦は無視してよい。また、アルミニウム円板と鉄釘の間の摩擦は十分大きく、これらは一体になって回転するものとする。

Ⅰ アルミニウム円板とボタン型磁石が回転する方向を、理由を付して答えよ。略図を使ってもよい。ただし、アルミニウム円板を流れる電流は、鉄釘との接合点Qと点Pの間を直接的に流れると考えてよい。

 図22のように、乾電池のかわりに検流計を置く。アルミニウム円板とボタン型磁石を図22の矢印方向に力を加えて回転させると、検流計に電流が流れた。電流の流れる方向を理由を付して答えよ。

Ⅲ Ⅱで生じていた起電力E[V]の大きさは、ボタン型磁石の回転の角速度がw[rad/s]のとき、と表せることを示し、係数bを求めよ。ただし、釘は十分細いとしてよい。

Ⅳ 21において、充分時間が経つとアルミニウム円板とボタン型磁石の角速度はある一定値[rad/s]になる。VBbを用いて表せ。

解答Ⅰ フレミング左手の法則で考えます。PQの方向に電流が流れます。これが左手中指の向き。アルミニウム円板を通して、ボタン型磁石から釘の方に向かって磁界ができるので、釘の側からアルミニウム円板を見て、手前向きの磁界です。これが左手人差し指の向き。このとき、左手の親指は、釘の側から見て反時計回りの方向を向きます。これが、電流の受ける電磁力の向き。従って、回転方向は、釘の側から見て、反時計回りです。
上から見て、反時計回り ......[]

Ⅱ 検流計の釘側をC,逆側をDとします。
フレミング右手の法則で考えるなら、釘の側から見て、線分PQは、磁界中を反時計回りに移動します。これが右手親指の向き。釘の側から見て、磁界は手前向きで、これが右手人差し指の向き。このとき右手中指QPを向きます。従って、検流計をDCの方向に電流が流れます。
検流計を釘と逆側から釘の方に向かって流れる ......[]

レンツの法則で考えるのなら、釘の側から見て、線分PQは反時計回りに回転するので、これを妨げる向き起電力が生じます。つまり線分PQが時計回りの方向に力を受けるような起電力が発生します。Ⅰより、PQ方向の電流では反時計回りの力なので、ここでは、QPの向きに電流が流れます。

線分PQ上の正電荷qの受けるローレンツ力を考えることもできます。釘の側から見て、qは反時計回りに移動するので、反時計回りに電流が流れると考えます。これが左手中指の向き。磁界は釘から見て手前向き。これが左手人差し指の向きです。このとき、左手親指QPの方向を向きます。フレミング左手の法則より、qの受けるローレンツ力の向きはQPです。これが起電力の向きであり、電流の向きです。

Ⅲ 微小時間の間に線分PQの回転するです。半径a頂角の扇形の面積は、です。この面積を貫く微小磁束は、
よって、電磁誘導の法則より、起電力の大きは、
......[]

Ⅳ 回転の角速度が一定値になるということは、アルミニウム円板の円周の接線方向には力は働かないということを意味します(等速円運動参照)。線分PQ間に電流が流れると接線方向にが働いてしまうので、線分PQ間には電流が流れていないことがわかります。
乾電池が接続されているのに電流が流れない、ということは、乾電池の起電力を打ち消す起電力が線分PQ間に発生しているということです。Ⅲより、アルミニウム円板が釘側から見て反時計回りに角速度で回転するとき、QPの向きに電流を流す起電力が発生します。従って、
[rad/s] ......[]


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  1. 2008/04/17(木) 13:04:13|
  2. 東大物理'05年
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東大物理'05年前期[1](再掲)

東大物理'05前期[1]

 図1のように、地球の中心Oを通り、地表のある地点Aと地点Bとを結ぶ細長いトンネル内における小球の直線運動を考える。地球を半径R,一様な密度rの球とみなし、万有引力定数をGとして以下の各問に答えよ。なお、地球の中心Oから距離rの位置において小球が地球から受ける力は、中心Oから距離r以内にある地球の部分の質量が中心Oに集まったと仮定した場合に、小球が受ける万有引力に等しい。ただし、地球の自転と公転の影響、トンネルと小球の間の摩擦および空気抵抗は無視するものとし、地球の質量は小球の質量に比べ十分大きいものとする。

Ⅰ 質量mの小球を地点Aから静かにはなしたときの運動を考える。
(1) 小球が地球の中心Oから距離r ()の位置にある時、小球に働く力の大きさを求めよ。
(2) 小球が運動開始後、はじめて地点Aに戻ってくるまでの時間Tを求めよ。

Ⅱ 同じ質量mを持つ二つの小球PQの運動を考える。時刻0に小球Pを、時刻に小球Qを同一の地点Aで静かにはなしたところ、二つの小球はOBの中点Cで衝突した。ここで二つの小球間のはねかえり係数を0とし、衝突後二つの小球は一体となって運動するものとする。ただし、は問Ⅰ(2)で求めた時間Tよりも小さいものとする。
(1) Tを用いて表せ。
(2) 二つの小球PQが衝突してからはじめて中心Oを通過するまでの時間をTを用いて表せ。

Ⅲ 問Ⅱと同様に、時刻0に小球Pを、時刻に小球Qを同一の地点Aで静かにはなした。ただし、二つの小球間のはねかえり係数はe ()とする。
(1) 二つの小球が最初に衝突した後、小球Pは地点Bに向かって運動し、地球の中心Oから距離dの点Dにおいて中心Oに向かって折り返した。このときのdの値をはねかえり係数eおよび地球の半径Rを用いて表せ。
(2) 小球Pと小球Qが二回目に衝突する位置を求めよ。
(3) その後二つの小球は衝突を繰り返した。十分時間が経過した後、どのような運動になるか答えよ。

解答 地球の中心を通るトンネルを掘ったとして、このトンネル内で物体がどういう運動をするかという問題です。'04年に愛媛大学でも同様の問題が出題されています。

(1) 半径rの球の体積(この問題でも球の体積の公式は与えられていないので覚えておく必要があります),この部分の質量
万有引力の公式より、求める力の大きさは、
......[]

(2) Oを原点とし、OA方向をx軸正方向とする座標を考えます。
小球の座標x ()だとして、小球にはつねに中心Oに向かうが働くので、のときはx軸負方向に、のときはx軸正方向に、が働きます。(1)の結果でとし、小球に働くは方向も入れてと表せます。
小球の運動方程式は、 ・・・①
これは、バネ定数をとする、バネ振り子の運動方程式と同型です。
従って、小球は、角振動数単振動を行います。
A点を離れてA点に戻るまでの時間Tは、単振動の一周期に相当します。よって、
......[]

(1) 小球P時刻0A()にいたので、時刻tにおけるP座標と表せます。
小球Q時刻A点にいたので、時刻tにおけるQ座標と表せます(Qが運動開始してからの時間です)
C()で両者が衝突するとき、両者の座標は等しく、
 ∴  ∴ ・・・②
また、 ∴ ・・・③
②,③,より、 .......[]
三角関数を持ち出すのも遠回りです。高校の範囲では単振動等速円運動している物体の正射影の運動ととらえます。原点を中心とする半径Rの円の周りをPQが等速円運動すると考えると、点を出発して、Pが点,またはに達するまでに円を周,または周回ります。Qが遅れてを出発して、逆回りに回ってPと出会うとすると、Qの方が進み方が小さいので、出会うまでに、P周,Q周まわればよいことになります。これで、Pが出発してからQが出発するまでの時間となります。円を描いて考えればほぼ直感的に明らかです。

(2) PQ速度は、
より、衝突時の両者の速度は、として、
これを ()とおくと、
合体後の速度をとして、運動量保存より、
 ∴
合体後の速度が0ということは、衝突地点C点は合体後の単振動の振動端だということです。合体後振動端から振動中心Oまでに要する時間は周期のです。
合体後の運動方程式は、①においてとしたもので、角振動数、周期は合体前と変わりません。よって、求める時間は、 ......[]
結局この問題を解くのには、衝突前の速度が等大逆向きで運動量の和が0であることしか使いません。これだけなら直感的に明らかなので、いきなり直感的に解答を求めることもできるでしょう。ただし、説明をどうするかという課題は残ります。

(1) 衝突後のPQ速度とします。
衝突前後の運動量保存より、
 ∴
反発係数の式:
 ∴

ここで、小球の位置エネルギーを考えてみます。
バネ定数kのバネに物体をつけて、自然長からの伸び縮みxのときの弾性力による位置エネルギーは、で与えられます。
この問題でも、中心Oからの変位xとして、xをバネの伸びと考えれば、小物体が地球から受けるは、バネに取り付けられた物体がバネから受ける弾性力と同じ形をしています。バネ定数のバネによる弾性エネルギーを考えることにより、座標xの位置にいる、質量mの小球の位置エネルギーを、と考えます。
注意 地球の内側では、距離に対するの依存の仕方が地球外と違うので、地球外での万有引力による位置エネルギーの公式は使えません。

C点におけるP力学的エネルギーは、
運動エネルギーと、
位置エネルギーの和です。
D点におけるP力学的エネルギーは、振動端で運動エネルギー0なので、
位置エネルギーのみです。
C点とD点との力学的エネルギー保存より、

......[]
dPの行う単振動振幅です。

(2) 衝突後も両者の運動は単振動です。PQの単振動は、振動中心Oに関して対称な運動になります。
その理由を考えてみます。
Qの衝突直後の運動エネルギーは、P運動エネルギーと同じです。
位置エネルギーPと同じなので、Qの力学的エネルギーはP力学的エネルギーと同じです。ということは、QPと同様に、振幅dの単振動をします。PQとも周期Tです。
衝突後、Qは、中心Oを通過してに入り、まで行って折り返してきます。
Pは、D点で折り返し、中心Oを通過してに入り、折り返してきたQと衝突します。
C点で衝突した以降の運動は、C点で衝突するまでの両者の運動を、ちょうど時計の針を逆回しにしたような運動になります。
というわけで、2回目の衝突地点は、C点の中心Oに関する対称点E(OAの中点で、中心からの距離である点)になります。
OAの中点 ......[]

式を立ててもできなくはないですが、煩雑なだけなので、運動の対称性を利用して説明するのがよいでしょう。

(3) 1回目の衝突地点は中心Oと地表の点Bの中点Cです。2回目の衝突地点は中心Oと地表の点Aの中点Eです。衝突地点は、この後、何度衝突しても変わることはありません。また、バネ定数k質量mは変化しないので、単振動の周期も変化せずTのままです。
衝突するごとに、速さe倍されます。それに伴い運動エネルギー倍となり減少します。しかし、衝突地点が変わらないので、衝突直前直後の位置エネルギーは毎回変わりません。衝突するごとに運動エネルギーだけが減少して、n回衝突後に、最初の倍になっています。十分時間が経過すると、として、となるので、最終的には衝突直前直後の運動エネルギー0になります。これは、単振動の角振動端CEであり、二つの小球が一体となって運動することを意味します。従って、十分に時間が経過すると、PQは、
一体となってOAOBの中点を振動端とする単振動(振幅は,周期はT)を行う。 ......[]


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  1. 2008/04/16(水) 13:03:06|
  2. 東大物理'05年
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