FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

東大理系数学'05年前期[6](再掲)

東大理系数学'05年前期[6] 東大理系数学'05年前期[6]

rを正の実数とする。xyz空間において


をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ。

解答 この問題は過去にも類題があります。問題文の書き方はかなり違いますが、実質的に、'94前期[3]'98前期[6]と同様の問題です。

 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
この問題は、①と③だけなら、半径rの円を断面とする円柱を垂直に交わらせたときの共通部分の体積になって、中堅大学でもしばしば見かける問題です。
共通部分にできる立体を、平面 ()
で切ったときの断面は、①,③のxkで置き換えて、
より、
この2つの不等式の表す領域は、一辺の正方形です。
断面積は、
より、の範囲で積分を行うと、この体積は、

この問題では、①,③にさらに、②が付け加わります。
ですが、これでも、不等式の個数が
1つ増えただけで、基本的には何も変わりません。積分の計算はかなり面倒になりますが。
やはり、平面
で立体Kを切った断面の面積を求めて積分します。
①,③のxkで置き換えると、先と同じように、
より、
②が表すのは、半径rの円から外側の部分です。
結局、断面にできる図形
Gは、一辺の正方形から、半径rの円の内側を取り除いた部分になります。
右図は、断面にできる図形
Gx軸と垂直な方向にyz平面上まで平行移動させたものです。
原点
Oと正方形の頂点Bとの距離dは、
切断面上にできる円: ・・・④ と正方形の辺とが交点をもつためには、円の半径rについて、である必要があります。よって、
2
乗して、
 ・・・⑤
x座標kが⑤を満たす範囲に立体ができます。この立体は、の部分との部分とで対称なので、以後はとして考え、の部分の体積を2倍することにより立体Kの体積を求めることにします。

3ABCを、ABCとします。
④と辺
ABとの交点Dは、④においてとして、 () より、D
同様にして、④と辺BCとの交点Eは、E
断面Gの面積は、正方形OABCの面積から、2個分の面積を引き、さらに扇形ODEの面積を引いたものを4倍したものになります。
正方形
OABCの面積は、
の面積は、
として、扇形ODEの面積は、


・・・・・・⑥
求める体積Vは、を⑤の範囲で積分したものになります。前述したように、対称性より、
⑥の中でqはkでは積分できないので、置換積分することを考えます。が開けるように、とおくと、のとき、? (置換積分(その2)を参照)
また、 ()

 (部分積分法を参照)

 (置換積分を参照)


……[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
スポンサーサイト



テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/04/15(火) 19:04:55|
  2. 東大数学'05年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東大理系数学'05年前期[5]

東大理系数学'05年前期[5] 東大理系数学'05年前期[5]

N1以上の整数とする。数字12,・・・,Nが書かれたカードを1枚ずつ、計N枚用意し、甲、乙のふたりが次の手順でゲームを行う。
(i) 甲が1枚カードをひく、そのカードに書かれた数をaとする。ひいたカードはもとに戻す。
(ii) 甲はもう1回カードをひくかどうか選択する。ひいた場合は、そのカードに書かれた数をbとする。ひいたカードはもとに戻す。ひかなかった場合は、とする。
の場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。
(iii) の場合は、乙が1枚カードをひく。そのカードに書かれた数をcとする。ひいたカードはもとに戻す。の場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。
(iv) の場合は、乙はもう1回カードをひく。そのカードに書かれた数をdとする。の場合は乙の勝ちとし、それ以外の場合は甲の勝ちとする。

(ii)の段階で、甲にとってどちらの選択が有利であるかをaの値に応じて考える。
以下の問いに答えよ。
(1) 甲が2回目にカードをひかないことにしたとき、甲の勝つ確率をaを用いて表せ。
(2) 甲が2回目にカードをひくことにしたとき、甲の勝つ確率をaを用いて表せ。
ただし、各カードがひかれる確率は等しいものとする。

解答 (1)(2)も、aを用いて表すので、甲がある特定のa (aは定数)を引いた、という前提で考えるのでしょう。

(1) 甲が2枚目のカードを引かない場合()に、甲が勝つのは、乙の引く1枚目の番号cが、 であって、かつ、乙の引く2枚目の番号dについて、となるか、となるときです。
・乙が1回目を引いたとき、となる確率は、c1からまでのどれかになる確率で、N枚のうちのa枚を引くので、
・乙が2回目を引いたとき、となるか、となる場合の余事象(乙が勝つ)は、となる場合です。余事象の確率は、N枚のうちの枚のいずれかを引くので、
元の事象(甲が勝つ)の確率は、
求める確率は、 ......[] (独立試行の確率を参照)

(2) 甲がカードを2回引く場合に、甲が勝つのは、
甲が2回目に引く番号bについて、
であって、かつ、
乙が1回目に引く番号cが、であって、かつ、
乙が2枚目に引く番号dについて、となるか、
となる場合です。
・甲が2回目に、を満たすある特定のbを引く確率は、
このbとしては、の可能性があります。その各々に対して、
・乙の引く2cdについて、となるかとなるのは、(1)の結果で、aに入れ替えたものとして考えれば、
求める確率は、に各場合について、甲が特定のbを引いたときに甲が勝つ確率 (独立試行の確率を参照)を加えあわせることにより、
......[]
上記のの式変形ですが、,・・・,とした式を一度書いてみるとよいと思います。
とすれば、公式: (Σの公式を参照)を利用することができます。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/04/14(月) 12:19:13|
  2. 東大数学'05年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東大理系数学'05年前期[4](再掲)

東大理系数学'05年前期[4]

3以上9999以下の奇数aで、10000で割り切れるものをすべて求めよ。

解答 東大では頻出の整数問題です。整数を参照してください。

まず、
kを自然数だとして、とおいてみます。
これを
a2次方程式とみて解くと、
ここで根号が開ける、つまり、根号内が平方数である条件を考えればよいのですが、
などと置いてもちょっと展望はないですね。
9999に近いのですが、のとき、となりますが、
で割っても、
これでは、kとして調べる範囲が広すぎます。
よって、この方針はボツ。

なので、とか、とかして、2次方程式を解く方針も考えられますが、先の方針と似たり寄ったりでしょうね。

次に、
と因数分解してみます。
これで、
1つ気がつかないといけないことがあります。
aは連続している2整数です。片方が奇数で、もう一方は偶数です。
とるに足らないような当たり前のことですが、こういうことが整数の問題では非常に役立つときがあります。
10000を素因数分解して出てくるは偶数です。は奇数です。
ということは、次の
2つの場合しかあり得ないということです。
(i) の倍数でaの倍数
(ii) の倍数でaの倍数
これ以外の場合(たとえば、片方がの倍数で、他方がの倍数になるような場合には、2数がともに偶数になってしまいます)はあり得ません。

(i)の場合、kを整数として、とおくと、lを整数として、
とおけます。つまり、
この左辺は偶数なので、は奇数です。lも奇数です。
より、8通りに限られます。
この程度なら全数チェックしてもよいでしょう。
と書ける数の中から16の倍数になるものを探します。
の各々について、
となりますが、
このうち、16の倍数は、に対応する624だけです。
のとき、です。
原問題のままなら、aが奇数になるのは(i)の場合だけなので、 ......[]

ここでは、aが偶数の場合も調べておきます。

(ii)の場合、kを整数として、とおくと、lを整数として、
とおけます。
は偶数なので、は奇数となり、kも奇数です。
より、8通りに限られます。
と書ける数の中から16の倍数になるものを探します。
の各々について、

このうち、16の倍数は、に対する9376だけです。
よって、

この問題では、,つまりの下4桁がaに一致していると言っているわけですが、実際、となります。

小学生の家庭教師のアルバイトをやっていて、かけ算の練習をさせるとき、
何でもよいから、
3桁の数を考えてごらん、と言って、
小学生が、例えば、
293を考えたとします。
まず、
7をかけてみてね、と、言います。
となります。
次に、今出てきた答に
11をかけてみてね、と、言います。
となります。
さらに、今出てきた答に
13をかけてみてね、と、言います。
となります。
はじめに考えた数と比べてごらん、と言うと、小学生が計算間違いをしていなければ、
目を丸くします。
なぜだろうね?と言って理由を考えさせるのもよいかもしれません。
ほかにも
3桁の数を考えさせて、計算を何回かやらせるうちに、71113にトリックがあるな、ということに気づかせることができるでしょう。
要するに、
だからなのですが、こんなことからでも、小学生に数の不思議さを体験させて科学への興味を持たせることができれば素敵だと思いませんか?

原問題が
aを奇数の場合に限っているのは、(i)(ii)も結局同じことを2度やるだけなので、無駄かなと出題者が思ったからだと思いますが、(ii)の手間を省略したければ、
mの倍数であって、nを整数として、と書けるとき、
とすると、
  より、
mの倍数です。この問題でaが偶数でよいことにすると、が答なら、も答です。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/04/12(土) 11:38:40|
  2. 東大数学'05年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東大理系数学'05年前期[3](再掲)

東大理系数学'05年前期[3] 東大理系数学'05年前期[3]

とする。ただし、eは自然対数の底である。
(1) ならばであることを示せ。
(2) を正の数とするとき、数列 ()を、によって定める。であれば、
であることを示せ。

解答 この問題は京大'84[6]をはじめとして、あちこちの大学で出題されてきている問題です。東大でも、毎年1題か2題、入試頻出技巧を使う問題が出題されています。

(1) 1次の導関数は、 (合成関数の微分法を参照)
2次の導関数は、
におけるの増減表は、
x 1
0
0()

増減表より、において、
また、単調増加関数

(2) 原問題で特に聞かれているわけではないのですが、定型問題なので、ふつうこうやる、という筋道でやっていきます。
という方程式を考えます。(1)という条件をつけているので、ここでも、の範囲の解を考えます。ここで、
という関数を考えます。

の増減表は、
x 1
0
()

増減表より、において、,従って、単調減少関数です。
より、,即ち、は、において、ただ1つの解を持ちます。

・まず、の場合を考えます。

は単調増加でなので、
以下、同様にして、,・・・・・・
となり、全ての自然数nについて、です。

また、単調増加関数だから、より、
,・・・・・・
となり、全ての自然数nについて、です。

は、において微分可能な関数なので、
平均値の定理より、の場合にはの場合には、として、
となるcが存在します。どちらの場合においても、なので、(1)の結果より、

よって、
この不等式で項の番号を1ずつ小さくしてゆくと、
,・・・,
これらを使って、

ここで、とすると、右辺
はさみうちの原理より、

の場合には、,・・・・・・
より、全ての0以上の整数nについて、

以上より、 ......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/04/08(火) 11:52:38|
  2. 東大数学'05年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東大理系数学'05年前期[2](再掲)

東大理系数学'05年前期[2] 東大理系数学'05年前期[2]

となるどのような複素数zに対してもとは表されない複素数w全体の集合をTとする。すなわち、
とする。このとき、Tに属する複素数wで絶対値が最大になるようなwの値を求めよ。

解答 問題文前半の言い方では、考えにくいので、集合記法で書き直してある方で考えることにします。
まず、変換式:
z2次方程式: ・・・① と見て、zについて解きます。
・・・②
苦しい形になりますが、複素数の平方根2乗してになる複素数だとします。
ですがこれでは、
の処置に困ります。2乗してになる複素数を考えるのに便利な技巧は極形式です。でも、ここで極形式を持ち出すくらいなら、はじめから極形式で書いてきた方がよいだろう、ということで、zを極形式で、
(
)と表すことにします。
という条件は、となります。


これはrを固定して考えると、,つまり、のときに最大になります。
このとき、
を満たせばwT上の点になります。
のとき、として、
 (微分・導関数を参照)
においては、よりは単調増加で、のとき最大。
このとき、
できた!と驚喜したくなるのですが、解答として妥当かどうかを調べてみます。
①で、
としてみると、
 ∴
を満たすのですが、は満たしません。
は、集合Tの条件式:を満たさないのです。
つまり、
は集合Tの要素にはなり得ず、この問題の解答とするわけにはいきません。

これは、②が、
wに対してzの値が1通りであるかのように見えるためです。
ですが、①は
2次方程式なので、解は2個、つまり、zの値は2通りあります。
に対するz2個あります。
の最大値は、2次方程式①の解が2個ともを満たすという条件下で考えなければなりません。
かと言って、
とおいて、
を満たすzを求めるのは、厳しそうです。
そこで、少し単純な問題を考えてみます。

与えられた
に対して、とおき、を満たすzを求めてみます。
 (ド・モアブルの定理を使用)
より、
また、よりより、
よって、
,または、
 ・・・()
これなら、の最大も、に関する条件もラクに考えることができます。

実は、東大第
2問は、この単純化された問題に帰着できる形をしています。
の両辺に1を加えると、
 ・・・③
となるので、与えられた ()に対して、
(
)とおき、を満たすzを求めてみます。
よって、上記()を利用して、

 ・・・④

より、 ∴
左辺を平方完成して、

(ここまで、複号同順) ・・・⑤
さて、という条件は、2次方程式①の2つの解④の双方について成立する必要があります。⑤の条件も複号の+,-の双方について成立する必要があります。
つまり、ある定められた
jに対して、
かつ
この条件は、 ()としてとおくと、
かつ ・・・⑥
という条件と同値です。
より、は単調増加。 (合成関数の微分法関数の増減を参照)
より、
において、
また、とすると、 ∴

従って、
においては、より、⑥
この範囲のxに対してが最大になるのはのときで、
においては、より、⑥
この範囲のxに対してが最大になるのはのときで、

一方、のとき、
であれば、において最大で、最大値は1
であれば、R最大のときに最大となります。また、R最大という条件のもとで、が最小のときに、は最大です。
上記のように、Rが最大値をとるときに、であって、なので、R最大と最小は同時に起こり、しかも、の最大値は、
以上より、が最大になるのは、 ()のときで、このとき、
......[]

一応、確認をしておくと、として、
を解くと、,このとき、となり、2解とも、を満たしています。

別解 上記のように素直に極形式でやってしまうと、()から④,⑤と来るあたりでゴタつきます。そこで、2乗してとなる複素数を求めてしまわずに、単に、aと置くことにします。すると、③:を満たすzは、より、,また、より、
条件:は、複号の±のいずれに対しても成り立つ必要があるので、
かつ
となり、aは、1を中心とする半径の円から内側であって、かつ、を中心とする半径の円から内側の複素数となります。このとき、
となりますが、等号が成立するのは、
のときで、2円の交点は、より、aがこの交点に来るときにw最大です。
従って、
の最大値を与えるwは、
......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/04/07(月) 00:33:41|
  2. 東大数学'05年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
次のページ