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大学入試問題を考える - 数学・物理 -

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CFV21での学習の進め方

2次曲線

2次曲線

楕円、放物線、双曲線をまとめて、2次曲線と言います。直交座標系(xy座標系)での取り扱いだけでなく、極座標なども扱います。極方程式や媒介変数表示で表された、2次曲線以外のいろいろな曲線のグラフも調べます。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

楕円 標準形:,定義:2焦点からの距離の和が一定である点の集合
 標準形:,定義:2焦点からの距離の差が一定である点の集合
 標準形:,定義:焦点からの距離と準線からの距離が等しい点の集合
2次曲線の分:円錐を切断する平面の向きにより、断面に、楕円、放物線、双曲線ができる。離心率について、なら楕円、なら放物線、なら双曲線。
2次曲線の分類(その2) 一般形:に対して、とすると、なら楕円、なら放物線、なら双曲線。但し、直線を表したり、何も表さない場合もある。
2次曲線の媒介変数表 楕円:の媒介変数表示は、,双曲線:の媒介変数表示は、
 極Oを端点とする半直線を始線とし、極からの距離rと始線からの回転角q の組で位置を指定する。xy座標系との間に、の関係がある。
ろいろな曲 媒介変数表示されたいろいろな曲線、極方程式で現れたいろいろな曲線のグラフを調べます。
座標のグラ 極方程式で示された曲線のグラフの書き方を学びます。
2次曲線に関する問題(その1) 直交座標系で2次曲線の問題を考えます。2次方程式の技巧を活用します。
2次曲線に関する問題(その2) 2次曲線の定義を利用して問題を考えます。
2次曲線に関する問題(その3) 2次曲面で光が反射するときの有名性質を媒介変数表示を使って考えます。
2次曲線に関する問題(その4) 2次方程式を利用すると面倒な場合、極座標を利用して楕円の問題を考えます。
2次曲線に関する問題(その5) (その4)で扱わなかった極座標の応用例を考えます。


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2006/11/11(土) 06:32:59|
  2. 数学C
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行列

行列

電子回路の解析から、気象予報、経済予測に至るまで、行列は、計算機に様々な仕事をさせるための道具です。ここでは、行列の基本的な計算から、連立1次方程式や1次変換への応用、行列の累乗計算の技巧などを扱います。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

行列 行列に関する基本事項、行列の和、差、相等、実数倍について触れます。
列の 行列の積の計算法を学びます。行列の積では、交換法則が成り立ちません。
 (E:単位行列)を満たす行列が逆行列です。逆行列の求め方を学びます。2次の正方行列では、となります。係数の分母を行列式と言います。のときにのみが存在します。
列と連立1次方程 行列を用いて連立1次方程式を記述すると、となります。この解は、のときには、となります。
本変 連立1次方程式を解くときの操作を行列を用いて考察します。この考察により、のときのn次正方行列の逆行列の求め方が明らかになります。
有値・固有ベクト  ()を満たす実数kを行列Aの固有値、を行列Aの固有ベクトルと言います。固有値kは固有方程式の解です。2次の正方行列の固有方程式は、となります。
ミルトン・ケーリーの定 行列Aの固有方程式:xを行列Aに代えた式:が成立します。2次の正方行列においては、が成立します。
1次変 ベクトルをベクトルに対応させる変換fにおいて、2つのベクトルについて、が成り立つとき、f1次変換と言います。1次変換は行列を用いて記述できます。
1次変換(その2) 原点を通る直線に関する対称移動、回転移動を表す行列を考察します。
列の対角 行列Aの固有ベクトルを列ベクトルとして横に並べてできる行列をPとして、は固有値を対角成分とし、他の成分は0となる行列となります。この操作を行列の対角化と言います。
ペクトル分 任意のベクトルについて、行列Aの固有値に対応する固有ベクトルの方向成分を取り出す1次変換を射影と言います。射影の表現行列を射影子と言い、固有値に対応する射影子をとすると、n次正方行列Aが異なるn個の固有値,・・・,をもつときには、という形に書くことができます。Aが対称行列の場合()にこの形をスペクトル分解と言います。
列の累 行列の対角化、スペクトル分解、ハミルトン・ケーリーの定理などを応用して行列の累乗を求める種々の技巧を考察します。


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  1. 2006/10/24(火) 09:12:53|
  2. 数学C
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