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大学入試問題を考える - 数学・物理 -

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理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

積分法

積分法

 数学Ⅲの積分では、三角関数、指数関数、対数関数を含む関数の積分も扱います。これらの積分には、置換積分法、部分積分法などの技巧が必要になります。また、区分求積法により、積分の原理を学びます。
 積分法を応用することにより、面積、体積、曲線の長さなどの計算を行うことができます。ここでは、種々の曲線について、面積、体積の計算を行った例も取り上げます。
 この項目では、定積積分の公積分と微積分と面対値を含む積の項目も参照してください。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

定積分の公  ()
換積 そのままの形では積分計算ができなくても、被積分関数の中の式を文字に置き換えたり、文字を式に置き換えたりすると、積分計算が行える場合があります。の置き換えを扱います。
換積分(その2) では、とおき、では、とおくとうまくいくことがあります。
分積分 公式:により積分が行える場合があります。
積分の漸化 というタイプの漸化式を考えます。の漸化式:
関数・奇関数の積 が偶関数であるとき、が奇関数であるとき、
角関数の積 という形の積分は、nに入る自然数によって計算のしかたを工夫する必要があります。
数関数の積 分母、分子がxの整式であるような分数関数は、部分分数に分けることによって積分を実行します。
換積分(その3) の置き換えを扱います。
積分と微分(その2) 
分求積 定積分が面積を表していることを確認します。無限級数を定積分に変換する公式:
積分と不等 のとき、
段関数と不等 のような数列和は求められないので、定積分を利用して不等式で評価します。
ーシー・シュワルツの不等 
積分と面積(その2) 数学Ⅱでは扱わなかった関数のグラフについて面積を考えます。
積分と体 断面積をとして、によって立体の体積を計算することができます。
x軸のまわりの回転 x軸のまわりの回転体の体積は、として計算できます。
y軸のまわりの回転 y軸のまわりの回転体の体積は、として計算できます。円筒分割にも触れます。
回転 曲線を直線:のまわりに1回転させたときにできる回転体の体積を求める方法を考えます。
線の長 曲線:の長さは、として計算できます。高校教科書では、発展事項としての扱いです。
イクロイ で与えられる曲線をサイクロイドと言います。
ステロイ で与えられる曲線をアステロイドと言います。
ージオイ  () で与えられる曲線をカージオイドと言います。
ピサイクロイ で表される曲線をエピサイクロイドと言います。
イポサイクロイ で表される曲線をハイポサイクロイドと言います。
理への応 微積分を使って物理の問題を考えます。ここでは、速度、加速度、等加速度運動、等速円運動を扱います。
理への応用(その2) 「物理への応用」の続きです。ここでは、単振動、また、速度に比例する抵抗力が働く運動を扱います。
衰振動関 「物理への応用(その2)」で出てくる減衰振動関数は、大学入試でも頻出です。グラフ、面積を考えます。
ーリエ級 関数を正弦・余弦の級数和として表すという技巧があります。それに必要となる定積分の計算法を学びます。
分方程 導関数や元の関数を含む等式を微分方程式と言います。変数分離型などの簡単なものを扱います。高校教科書では、発展事項としての扱いです。
分方程式(その2) 微分方程式のうちでやや技巧の必要な、線形1階、線形2階の微分方程式を扱います。


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  1. 2006/10/07(土) 19:33:07|
  2. 数学Ⅲ
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微分法

微分法

 数学Ⅲの微分では、三角関数、指数関数、対数関数の微分も扱います。微分計算の方法も、積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法、など、多種の方法を学習します。またグラフを描くにあたり、1次導関数の正負による増減だけでなく、2次導関数による凹凸も調べます。
 この項目では、均変化分・導関線と微分係、も参照してください。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

の微分 
の微分 
成関数の微分 ,または、
関数の微分 
分の公 
介変数表示された関数の微分 
関数の微分 円の方程式:のようなものは、この形のまま合成関数の微分法を利用して微分し、とします。
数微分 のようなそのままでは微分しにくい関数の場合、対数をとって微分するとうまくいくことがあります。
次の導関 の導関数1次の導関数と言います。の導関数2次の導関数と言います。n回微分した関数をと書いて、n次の導関数と言います。
線・法線の公 の点における接線:,法線(接点で接線と直交する直線)
均値の定 閉区間で連続、開区間で微分可能な関数に対して、を満たすcが存在する。これを平均値の定理と言います。
数の増 であれば、は増加、であれば、は減少。
数の凹 であれば、は下に凸、であれば、は上に凸。
々の関数のグラフ(1) 分数関数のグラフを考察します。
々の関数のグラフ(2) 無理関数(根号を含む関数)のグラフを考察します。
々の関数のグラフ(3) 三角関数を含む関数のグラフを考察します。
々の関数のグラフ(4) 指数関数を含む関数のグラフを考察します。
々の関数のグラフ(5) 対数関数を含む関数のグラフを考察します。
々の関数のグラフ(6) 陰関数の形に表された関数のグラフを考察します。
々の関数のグラフ(7) 媒介変数表示された関数のグラフを考察します。
数の近似 の値がわかっているとき、aに近いxについて、として、の近似値を求めることができます。
分法の方程式への応用(2) 三角関数、指数関数を含む方程式の解の個数を調べる方法を学習します。
分法の不等式への応用(2) 増減、凹凸を調べることにより、不等式を証明する方法を学習します。


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  1. 2006/08/23(水) 11:50:07|
  2. 数学Ⅲ
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極限

極限

 極限は、微分・積分を考える上での基礎概念です。正確な議論をしようとすると、大学入試のレベルを超えてしまうので、ここでは、
nを限りなく大きくすると(と表す)'、数列の第nはどうなるか(これを数列の極限と言い、と表す)、また、xを限りなく大きくすると(と表す)'xを限りなくaに近づけると(と表す)'、関数はどうなるか(これを関数の極限と言い、などと表す)、といった表現で理解することにします。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

列の極 数列において、のとき、数列の第nの動きを考えます。となるならaを極限値と言い、数列aに収束すると言います。
比数列の極 等比数列0に収束する条件は、公比rについて、
限級 数列の各項の和を無限にとったものを無限級数と言います。部分和が、のときとなるなら、sを無限級数の和と言います。
限等比級 初項a,公比rの等比数列の各項の和を無限にとった無限等比級数が収束する条件は,このときの和は
数の極 関数において、のとき、のときの、関数の動きを考えます。となるならaを極限値と言います。
定形の極 単純に、としたのでは求められない極限を求める技巧を学びます。
さみうちの原 であれば、です。また、であれば、です。
限の公 公式:は、微分法において導関数を求める基礎となる公式です。
数の連 関数を満たすとき、において連続です。
大値・最小値の定 閉区間において連続な関数は、最大値、最小値をもちます。
間値の定 閉区間において連続な関数について、の間の値をとるところが必ずある、という定理です。


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  1. 2006/08/03(木) 14:29:51|
  2. 数学Ⅲ
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