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阪大理系数学'13年前期[5]

阪大理系数学'13年前期[5]

n3以上の整数とする。n個の球,・・・・・・,n個の空(から)の箱,・・・・・・,がある。以下のように、,・・・・・・,の順番に、球を箱に1つずつ入れていく。
まず、球を箱,・・・・・・,のどれか
1つに無作為に入れる。次に、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
一般に、について、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか
1つに無作為に入れる。
(1) が入る箱はまたはである。これを証明せよ。
(2) に入る確率を求めよ。

解答 (2)が難問ですが、が箱,箱に入る場合と、箱に入る場合と、それ以外の場合とに分け、それ以外の場合には球と箱が個以下になる場合を考えればよいことに気づければ解答できます。なお、独立試行の確率を参照してください。

(1) は箱,・・・・・・,のどれにも入る可能性があります。 ()を入れ終わったとき、を入れる時点で、が空いていればに入り、空いていなければ、には既にのどれかがに入っています。つまり、を入れ終わった時点でには必ず球が入っています。
従って、を入れる時点で、には必ず球が入っています。ということは、が入る箱はまたはです。
(2) 以下で、箱をで表し、左から順に,・・・の順に並んでいるとします。また、箱にが入ったとき、と表すことにします。
まず、の場合で、に入る確率を考えてみます。
の入れ方について以下の場合が考えられます。
(i) に入れると、が空いているので、に入ります。
 確率
(ii) に入れると、が空いていないので、またはに入ります。
 に入ることはありません。
(iii) に入れると、が空いているので、に入ります。
 (i)と同様に、確率
に入る確率はです。
の場合、に入る確率を考えます。
(i) に入れると、が空いているので、に入ります。
 確率
(ii) に入れると、が空いていないので、のどれかに入ります。この状況は、と読み替えると、のときの状況と同じで、に入る確率はでした。
に入れる確率はなので、このときに入る確率は、
(iii) に入れると、に入ることはありません。
(iv) に入れると、(i)と同様に、に入る確率はです。
に入る確率は、です。
の場合、に入る確率を考えます。
(i) に入れると、が空いているので、に入ります。この確率は
(ii) に入れると、が空いていないので、のどれかに入ります。この状況は、のときと同じで、このときに入る確率は、
(iii) に入れると、に入るのですが、が空いていないので、のどれかに入ります。この状況はのときの状況と同じで、このときに入る確率は、です。
(iv) に入れると、に入ることはありません。
(v) に入れると、(i)と同様に、に入る確率はです。
に入る確率は、です。
以上より、一般の整数
n ()の場合、球を箱に入れる確率はになると予測できます。予測が成り立つことを数学的帰納法で示します。
() のときは上記より成立します。
() のとき、となる整数mについて、球と箱がm個あるときに、球を箱に入れる確率がであると仮定します。
(i) またはに入れると、 ()に入るので、に入れる確率は各々
(ii) ()に入れると、に入れられなくなりますが、このときの状況は、球と箱の個数が ()だったときの状況と同じです。
に入れる確率が,その後の状況の確率は帰納法の仮定よりで、に入れる確率は各々,この場合は、通りあります。
(iii) に入れるときは、に入ることはありません。
よって、球を箱に入れる確率は、
以上より、一般の整数n ()の場合について予測は正しく、求める確率は、 ......[]


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  1. 2013/09/15(日) 19:22:39|
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阪大理系数学'13年前期[4]

阪大理系数学'13年前期[4]

xyz空間内の3OABを頂点とする三角形OABx軸のまわりに1回転させてできる円すいをVとする。円すいVy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答 問題文を一見してぎょっとしますが、断面を考えていけば素直に解決します。

直円錐をその軸に平行な平面で切ると、切り口に双曲線ができます。
三角形
OABx軸のまわりに1回転させてできる円錐Vを、x軸に平行な平面 ()で切ると、切り口にやはり双曲線ができます。
この双曲線の頂点は、直線
OBと、平面との交点Cになります。
円錐
Vの底円は、点Aを中心とする半径1の円で、この円はx軸と垂直です。
この円の円周と平面との交点は、です。プラスの方を
P,マイナスの方をQとし、円錐Vy軸のまわりに1回転させてできる立体を平面で切ると、3CPQを通る放物線と線分PQとで囲まれる図形Wy軸のまわりに回転させた図形が切り口にできます。
図形
W内の点でy軸との距離が最小となる点はCで、最大となる点はPQです。
図形
Wy軸のまわりに1回転させると、Dを中心とし、DPを半径とする円からDCを半径とする円を除いた図形Uになります。
この図形
Uが、円錐Vy軸のまわりに1回転させてできる立体を平面で切ったときにできる図形です。

より、図形Uの面積は、
求める体積は、立体がxy平面に関して対称であることを考慮して、
......[]


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  1. 2013/09/03(火) 11:39:56|
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阪大理系数学'13年前期[3]

阪大理系数学'13年前期[3]

4個の実数
がすべて素数となるような正の整数nは存在しない。これを証明せよ。

解答 ぱっと見には方針が立ちませんが,素数を22以外に分けると、偶数か奇数か、ということになり、それなら、3の倍数かどうかと調べてゆくと、嫌でも解決してしまいます。なお、整数を参照してください。

だとすると、です。このとき、ですが、これは素数ではありません。
3以上の素数だとすると、は奇数でnは偶数です。
このとき、はいずれも奇数で、素数の可能性があり、偶奇を考えるだけでは題意を示すことができません。
そこで、
n3の倍数かどうかを考えてみます。
(i) nは偶数なのでkを偶数として、のとき、3の倍数で素数ではありません。
(ii) kを奇数として、のとき、
3の倍数ではなく、素数の可能性があります。
3の倍数なので素数ではありません。
(iii) kを偶数として、のとき、
3の倍数ではなく、素数の可能性がありますが、
3の倍数なので素数ではありません。
以上ですべての自然数nの場合を尽くしているので、がすべて素数となるような正の整数nは存在しません。(証明終)


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  1. 2013/08/14(水) 22:37:53|
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阪大理系数学'13年前期[2]

阪大理系数学'13年前期[2]

不等式
の表す領域をxy平面に図示せよ。

解答 素直に場合分けしてしまうと16通りに分けることになりますが、これでは、試験会場で時間的に厳しくなります。

とします。
のとき与不等式が成立するとします。つまり、

 ・・・①
が成立するとします。
与不等式で、としても①と同じになり、与不等式は成立します
(実数の絶対値を参照)
同様に、のとき与不等式が成立しないとすると、のときにも与不等式は成立しません。
従って、第
1象限で領域Dを求めておけば、領域Dy軸に関して対称な領域,領域Dと原点に関して対称な領域、領域Dx軸に関して対称な領域も与不等式が表す領域となります。
のとき、より、与不等式は、

となります。
(i) のとき、与不等式は、
(ii) のとき、与不等式は、
(iii) のとき、与不等式は、
(iv) のとき、与不等式は、
(i)(iv)を図示すると領域Dは、右上図黄緑色着色部(境界線を含む)
これと
y軸に関して対称な領域、原点に関して対称な領域、x軸に関して対称な領域を合わせて、求める領域は右下図黄緑色着色部(境界線を含む)


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  1. 2013/08/14(水) 22:36:16|
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阪大理系数学'13年前期[1]

阪大理系数学'13年前期[1]

三角関数の極限に関する公式
を示すことにより、の導関数がであることを証明せよ。

解答 教科書をまる暗記せよということではないと思いますが、その場で考えるとしても、右図の状況と、の場合に注意することは覚えておきたいものです。

直角三角形
OABにおいて、 (x弧度法で測るものとします。です)とし、Oを中心とする円とOCとの交点をBとします。
面積,扇形OABの面積はの面積は
は扇形
OABを含み、扇形OABを含むので、
 ()
なので、で各辺を割ると、
各辺の逆数について、
ここで、とすると、
はさみうちの原理より、
の場合については、として、
()とおくと、のとき、
より、のとき、で、

以上より、
として、




注.のとき、
 (微分の公式を参照)


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