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阪大物理'13年[2]

阪大物理'13[2]

1のように、屈折率の平面ガラス上に、一方が平面で他方が半径Rの球面になっている屈折率の平凸レンズをのせ、レンズの真上から波長λの単色光を入射させる。ここでである。これを真上から見ると、平凸レンズの下面で反射した光と平面ガラスの上面で反射した光が干渉して、接点Oを中心とする明暗の輪(リング)が同心円状に形成される。これをニュートンリングと呼ぶ、この現象について以下の問いに答えよ。また、選択肢については正しいものを選択し、その番号を解答欄に記せ。

Ⅰ.平面ガラスと平凸レンズの間が空気の場合を考える。ただし、空気の屈折率は1.0である。ここで、光が、屈折率のより大きな媒質で反射するときは、位相が逆になることに注意せよ。
1 接点Oから平面ガラスに沿って距離rだけ離れた点における、平面と球面の距離hを、rRを用いて現せ。ただし、hRに比べて十分に小さいとし、絶対値が1より十分小さいxに対しては、の近似式を用いよ。
2 接点O付近は、円上に見える。その理由を解答欄に記せ。
3 接点Oからm番目 ()の明輪の半径を、mRλのうちの必要なものを用いて表せ。
4 このニュートンリングを真下から観測した場合、明輪の輪は真上から観測したときと比べてどう見えるか。次のうちの正しいものを選択せよ。
全く同じに見える。
輪の明暗が反転して見える。
ニュートンリングは見えない。

Ⅱ.平面ガラスと平凸レンズの間を、屈折率nの液体で満たす場合を考える。
5 液体の屈折率nがある条件を満たすときに、ニュートンリングは観測できなくなる。その条件を表せ。
6 ニュートンリングが観測される場合、リングの中心Oからm番目の明輪の半径を、mRλnのうちの必要なものを用いて表せ。必要があれば、液体の屈折率nの値によって場合分けをすること。

Ⅲ.液体が残ったまま、図2のように平面ガラスから平凸レンズをゆっくりと持ち上げていく場合を考える。ここで、屈折率はであるとし、平凸レンズの平面ガラスからの高さをdとする。平凸レンズを持ち上げても平面ガラスとの間は常に液体で満たされており、空気は入らない。また、でニュートンリングは観測されていた。
7 平凸レンズをゆっくりと持ち上げ始めると、明暗の輪の半径はなってゆく。
高さdがある条件を満たすときに、ニュートンリングは、平凸レンズを持ち上げる前と同じ形状になる。最初に同じ形状になる高さを2回目に同じ形状になる高さをとする。
8 Rλnのうちの必要なものを用いて表せ。
9 高さdのとき、リングの中心Oからm番目の明輪の半径mRλndのうちの必要なものを用いて表せ。必要があれば、高さdの値によって場合分けをすること。

解答 ニュートン・リングの問題です。自由端の反射か、固定端の反射かをていねいに考えましょう。問9は慎重に考察する必要があります。

Ⅰ.問1 三平方の定理より、
に比べて十分に小さなを無視すると、
......[]
2 接点O付近では、② 暗く ......[] 見えます。
理由は、接点O周辺では、平凸レンズ下面で反射した光と、平面ガラス上面で反射した光が干渉して弱め合うからです。
平凸レンズ下面で反射する光は、屈折率の大きなレンズから屈折率の小さな空気中に進もうとして反射するので自由端の反射をして
位相がずれません。平面ガラス上面で反射する光は、屈折率の小さな空気中から屈折率の大きなガラスに入ろうとして反射するので固定端の反射をして位相πずれます。両反射光は位相πずれているので、経路差波長の整数倍のときに弱めあうことになります。接点O周辺では、経路差はほぼゼロなので弱めあうことになります。
3 平凸レンズ下面で反射する光と平面ガラス上面で反射する光との経路差です。問2と同様に、両光の間には位相差πが存在するので、強め合う条件は、明輪の半径として、
 (m:自然数)
......[]
4 ニュートンリングを下側から観察すると、直接透過する光と、まず平面ガラス上面で反射(固定端の反射で位相πずれる)し、平凸レンズ下面で反射(固定端の反射で位相πずれる)する光とで干渉してニュートンリングを作ります。両光の位相はそろうので、強め合う条件は、 (m:自然数)

となり、真上から観測したときと比べると、輪の明暗が反転します。 ② ......[]

Ⅱ.問5 平凸レンズの屈折率と液体の屈折率が一致する()と、この境界で反射しなくなるので、ニュートンリングは観測できなくなります。また、平面ガラスの屈折率と液体の屈折率が一致する()ときにも、ニュートンリングは観測できなくなります。
......[]
6 のときはⅠと同様に、平凸レンズと液体の境界では自由端の反射、液体と平面ガラスの間では固定端の反射をします。2光の位相差π2光の光路差,強め合う条件は、明輪の半径 (m:自然数)として、
......[]
のとき、平凸レンズと液体の境界では自由端の反射、液体と平面ガラスの間でも自由端の反射をします。2光に位相差はなく、強め合う条件は、
......[]
のとき、平凸レンズと液体の境界では固定端の反射、液体と平面ガラスの間では自由端の反射をします。2項には位相差πがあり、強め合う条件は、
......[]

Ⅲ.問7 このときの光路差,液体と平凸レンズとの境界、平面ガラスとの境界のいずれか一方で自由端の反射、他方で固定端の反射をするので、2光の位相差π,強め合う条件は、明輪の半径として、
() ・・・①
よって、明輪の
半径は小さくなります。② ......[]
8 dを大きくすると、明輪半径が小さくなるので、のときm番目の明輪であったものが、のときには、番目の明輪になります。よって、

......[]
9 問8より、のときには、接点O周辺は弱め合う条件が成立して暗くなります。
のときには、接点O周辺は強め合う条件が成立して明るくなります。
のときには、接点
O周辺で弱め合う条件が成立しない、という点において、Oを中心とする円内がやや明るくなるのですが、リングにはなりません。
のときには、接点
O周辺で強め合う条件が成立しない、という点において、Oを中心とする円内がやや暗くなります。
以上に注意すると、問
7より、明輪の半径r,またmを整数として、強め合う条件は、

 ・・・②
つまり、のとき、より、②を成立させる最小の整数
mです。従って、m番目の明輪の半径は、①でとして、
(m:自然数) ......[]
つまり、のとき、より、②を成立させる最小の整数mです。従って、m番目の明輪の半径は、①でとして、
(m:自然数) ......[]


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  1. 2013/09/30(月) 02:33:49|
  2. 13年物理
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阪大物理'13年[2]

阪大物理'13[2]

直流電源にコイルとコンデンサーとスイッチが接続された図1のような電気回路を考える。コイルの自己インダクタンスをL,単位長さ当たりの巻き数をnとし、コイルに流れる電流はaの矢印の向きを正とする。直流電源の電圧はV,コンデンサーの静電容量はCであり、電源には抵抗値rの内部抵抗がある。
Ⅰ,Ⅱの最初の状態ではともに、スイッチは全て開いており、電気回路には電流は流れておらず、コンデンサーに電荷はなかった。以下の空欄に入れるべき適切な式を、解答欄に記入せよ。ただし、
(7)(13)では、{  }から正しいものを1つ選択し、(16)(17)では正しいものを全て選択し、解答欄に記入せよ。

Ⅰ.最初の状態からスイッチを閉じると、コイルに電流が流れる。十分短い時間の間に電流がだけ変化した。この時、コイルに生ずる誘導起電力の大きさは、Lを用いるとと表せる。
その後、十分時間が経過すると、電流の大きさは一定になった。この時、コイルに流れる電流の大きさはであり、コイルで生じる磁場の強さは、nVrを用いるとである。

Ⅱ.最初の状態からスイッチを閉じると、コンデンサーに電荷が蓄えられはじめる。十分時間が経過した後に、コンデンサーに蓄えられる電荷量はであり、静電エネルギーはである。
次に、を開いてを閉じると、コンデンサーが放電をし始め、コイルに電流が図1aの矢印の向きに流れ始める。を閉じた直後の短い時間における電流の変化率である。コンデンサーの電荷がゼロになる時、コイルにはの矢印の向きに電流が流れており、コンデンサーは、を閉じる前と正負が逆に充電され始める。しばらくすると再び放電が始まる。このように充電と放電が繰り返される結果、コンデンサーとコイルの間には振動電流が流れつづける。この振動電流の角周波数をωとする。このωを用いると、コンデンサーのリアクタンスはであり、コイルのリアクタンスはである。コンデンサーおよびコイルにかかる電圧の最大値はVなので、振動電流の最大値は、VCωを用いるとであり、VLωを用いるとと表せる。コイルとコンデンサーに流れる振動電流の最大値は等しいので、ωと求められる。を閉じた時点からのコイルに流れる電流Iの時間変化は、図2である。コンデンサーとコイルに蓄えられるエネルギーの和は一定なので、コイルで発生する磁場の強さの最大値は、nVCLを用いるとである。
次に強い磁場を発生させることを考えよう。コイルの長さと断面積をそれぞれ
Aとする。コイルの半径に比べては十分に大きいので、コイル内部には一様な磁場ができている。真空の透磁率をとし、nAを用いると、コイルの自己インダクタンスLは、である。一方、コンデンサーは平行平板コンデンサーであり、その極板の間隔と面積はそれぞれdWである。また、真空の誘電率をとする。磁場の強さを大きくするには、の値を小さくし、の値を大きくすればよい。

解答 コイルとコンデンサーの回路の基本問題です。

(1) コイルに生じる誘導起電力の大きさは、 ......[]
(2) 充分時間が経過して電流が一定になるとコイルに生じる誘導起電力はゼロで、オームの法則より、コイルに流れる電流の大きさは、 ......[]
(3) コイルで生じる磁場の強さは、 ......[]

(4) コンデンサーに蓄えられる電気量は、 ......[]
(5) コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーは、 ......[] (コンデンサーの過渡現象を参照)
(6) を閉じた直後、コンデンサーの上側極板から正電荷が流れ始め、となります。このとき、,コイル両端の電圧はコンデンサーの電圧に等しくVなので、
 ∴ ......[]
(7) コンデンサーの電荷がゼロになってもコイルは電流をそのまま流し続けようとするので、このときのコイルの電流の向きは(a) ......[]
(8) 振動電流角周波数ω のとき、コンデンサーのリアクタンスは、
......[] (振動回路を参照)
(9) コイルのリアクタンスは、 ......[]
(10) コンデンサーの電流の最大値をとして、
......[]
(11) コイルの電流の最大値は、
......[]
(12) (10)(11)電流を等しいとおくと、
......[]
(13) を閉じた時点()で、コイルは電流を流そうとしないのでです。時間経過に従って正方向に電流が流れ始め、コンデンサーの電荷がゼロになった時点でとなり、それ以降コンデンサーの上側極板に負電荷、下側極板に正電荷が蓄えられるのに従って電流が減少します。こういう変化をしているグラフは、(d) ......[]
(14) より、コイルに発生する磁場の強さの最大値は、
......[]
(15) コイルに電流Iが流れているとき、コイル内部に発生する磁場の強さは、
コイル内部の磁束密度は、
コイルを貫く
磁束は、
コイルの総巻き数はで、
電磁誘導の法則より、コイルに発生する誘導起電力は、
より、コイルの自己インダクタンスは、 ......[] (自己誘導を参照)
(16) (15)より、磁場の強さの最大値は、
これより、を大きくするためにはdA ......[] を小さくし、
(17) W ......[] を大きくすればよいことになります。


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  1. 2013/09/12(木) 11:33:47|
  2. 13年物理
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阪大物理'13年[1]

阪大物理'13[1]

ばねと板からなり質量の無視できる緩衝器が壁に取り付けられている。物体が水平な床の上を緩衝器に向かってすべっていき、緩衝器に接した後の物体の運動を考える。物体が緩衝器に接したとき緩衝器のばねの長さは自然長であった。また、物体が壁に最も近づいたとき、ばねにはさらに縮む余裕が残されていた。物体と床の間には、以下のⅠ,Ⅱでは摩擦がなく、Ⅲでは摩擦がある。ばね定数をk,重力加速度の大きさをgとして、以下の問いに答えよ。

Ⅰ.図1のように、なめらかな床の上を質量Mの物体Aが速さで緩衝器に向かってすべっていた。物体Aが緩衝器に接した後、ばねは縮んでいく。物体Aが緩衝器に接したときから壁に最も近づくまでの時間を,壁に最も近づいたときにばねが自然長から縮んだ長さをとする。
1 Mkのうちの必要なものを用いて表せ。
2 Mkのうちの必要なものを用いて表せ。
3 を短くするにはどうすればよいか。以下のうちの正しいものの記号を全て記せ。
(a) 速さを大きくする。
(b) ばね定数kを大きくする。
(c) 質量Mを小さくする。

Ⅱ.図2のように、質量Mの物体Aの上に質量mの物体Bを載せた。物体Aと物体Bの間には摩擦があり、その静止摩擦係数をμとする。2つの物体は一体となり、なめらかな床の上を速さで緩衝器に向かって滑っていた。物体Aが緩衝器に接した後も、2つの物体は一体となって運動し、物体Bは物体Aに対して滑ることはなかった。物体Aが最初に緩衝器に接する位置をx軸の原点とし、物体の初速度の方向をx軸の正の向きとする。一体となって運動している物体の加速度をa,物体Bに働く摩擦力の大きさをFとする。
4 ばねがxだけ縮んでいるときの物体Aと物体Bの運動方程式を書け。
5 ばねがxだけ縮んでいるときの物体Bに働く摩擦力の大きさFを、Mmkgμxのうちの必要なものを用いて表せ。
6 物体Bが物体Aに対して滑らないことから、静止摩擦係数μが満たす条件を、Mmkgのうちの必要なものを用いて表せ。

Ⅲ.図3のように、摩擦のある床の上を質量Mの物体Aが緩衝器に向かって滑っていた、緩衝器に接したとき、物体Aの速さはであった。物体Aは緩衝器に接した後、壁に近づいていき、その後向きを変え、ばねの長さがちょうど自然長となる位置で静止した。床と物体Aには、動摩擦係数と静止摩擦係数が等しい材質を選んだ。ここで動摩擦係数をとする。
7 物体Aの速さMkgのうちの必要なものを用いて表せ。
8 物体Aが壁に最も近づいた後、ばねによって押し戻される。押し戻されるときの物体Aの速さの最大値をを用いて表せ。

解答 ばね振り子の基本問題ですが、Ⅲは計算に工夫が必要です。

Ⅰ.問1 衝突前の力学的エネルギーは、物体A運動エネルギーです。緩衝器のばねが最も縮んだときの力学的エネルギーは、弾性エネルギーです。両者の力学的エネルギー保存より、
 ∴  ・・・①
単振動の公式より、単振動の振幅なので①より、
周期に等しく、 ......[]
2 ①より、 ......[]
3 問1の結果より、を短くするには、kを大きくするか、質量Mを小さくすればよいので、(b)(c) ......[]

Ⅱ.問4 物体Aと物体B加速度aとします。物体Aに働くは、右向きの静止摩擦力Fとばねの弾性力(左向き)で、物体A運動方程式は、
......[] ・・・②
物体Bに働くは、左向きの静止摩擦力で、物体B運動方程式は、
......[] ・・・③
5 ②+③より、 ∴
③に代入して、 ......[]
6 物体Bが物体Aに対して滑らない条件は、 ∴
左辺は、問2と同様にして、のときに最大で、
2の結果より、 ......[]

Ⅲ.問7 衝突前の力学的エネルギー,ばねが最も縮むとき(このときのばねの縮みとします)までの間に動摩擦力がした仕事は、,ばねが最も縮んだときの力学的エネルギーはばねの弾性エネルギー,この間についてエネルギーの原理より、
 ・・・④
その後向きを変えて自然長に戻るまでに動摩擦力がした仕事自然長に戻ったとき、運動エネルギー弾性エネルギー0で、この間についてエネルギーの原理より、
 ・・・⑤
より、 ・・・⑥
④-⑤より、
⑥より、
......[]
8 押し戻される途中で、ばねの縮みxのときの物体A速さvとして、弾性エネルギー運動エネルギー,最も縮んでいたときからこのときまでに動摩擦力のした仕事エネルギーの原理より、
 ・・・⑦
⑦-⑤より、
物体A速さが最大値となるとき、運動エネルギーも最大となりますが、運動エネルギーの最大値は、
7の結果を用いて、 ......[]


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