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センター数学IA '13年第4問

 センター数学IA '13年第4問 

(1) 1から4までの数字を、重複を許して並べてできる4桁の自然数は、全部で個ある。
(2) (1)個の自然数のうちで、1から4までの数字を重複なく使ってできるものは個ある。
(3) (1)個の自然数のうちで、1331のように、異なる二つの数字を2回ずつ使ってできるものの個数を、次の考え方に従って求めよう。
(i) 1から4までの数字から異なる二つを選ぶ。この選び方は通りある。
(ii) (i)で選んだ数字のうち小さい方を、一・十・百・千の位のうち、どの2箇所に置くか決める。置く2箇所の決め方は通りある。小さい方の数字を置く場所を決めると、大きい方の数字を置く場所は残りの2箇所に決まる。
(iii) (i)(ii)により、求める個数は個である。
(4) (1)個の自然数を、それぞれ別々のカードに書く。できた枚のカードから1枚引き、それに書かれた数の四つの数字に応じて、得点を次のように定める。
・四つとも同じ数字のとき       9
2回現れる数字が二つあるとき     3
3回現れる数字が一つと、
1回だけ現れる数字が一つあるとき   2
2回現れる数字が一つと、
1回だけ現れる数字が二つあるとき   1
・数字の重複がないとき        0
(i) 得点が9点となる確率は,得点が3点となる確率はである。
(ii) 得点が2点となる確率は,得点が1点となる確率はである。
(iii) 得点の期待値は点である。

解答 センター試験としてはやや高レベルな確率の問題です。

(1) 4桁の各桁ごとに1から4までの数字が入るので、4桁の自然数は、個あります。
() 2 () 5 () 6 ......[]
(2) 4桁の各桁で重複なく1から4の数字を使う、ということは、1から4の数字を並べて4桁の自然数を作るということです。個あります。
() 2 () 4 ......[]
(3)(i) 1から4までの数字から異なる二つを選ぶのは、通りあります。
() 6 ......[]
(ii) (i)で選んだ数字のうち小さい方を、一・十・百・千の位のうち、どの2箇所に置くか決める決め方は、4箇所から2箇所を選ぶので、通りあります。
() 6 ......[]
(iii) 異なる二つの数字を2回ずつ使ってできる自然数は、個あります。
() 3 () 6 ......[]
(4)(i) 4桁で全部同じ数字になるのは、11112222333344444個あります。
得点が9点になる確率は、
() 1 () 6 () 4 ......[]
得点が3点になる確率は、異なる二つの数字を2回ずつ使ってできるものが36個あるので、
() 9 () 6 () 4 ......[]
(ii) 3回現れる数字が一つと、1回だけ現れる数字が一つあるものは、異なる二つの数字の選び方が6通り、大きい方の数字が3回出てくるか1回出てくるかが2通り、1回だけ現れる数字が4桁のどこに入るかが4通り、全部で、個あります。得点が2点になる確率は、
() 3 () 1 () 6 ......[]
2
回現れる数字が一つと1回だけ現れる数字が二つあるものは、異なる三つの数字の選び方が通り、三つの数字のどれを2回現れるようにするかが3通り、1回だけ現れる数字を入れる2箇所の選び方が通り、2箇所のどちらにするかが2通り、全部で、個あります。得点が1点になる確率は、
() 9 () 1 () 6 ......[]
(iii) 得点の期待値は、
() 3 () 2 ......[]


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  1. 2013/07/28(日) 00:18:25|
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センター数学IA '13年第3問

 センター数学IA '13年第3問 

Oを中心とする半径3の円Oと、点Oを通り、点Pを中心とする半径1の円Pを考える。円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をABとする。また、円Oの周上に、点Bと異なる点Cを、弦ACが円Pに接するようにとる。弦ACと円Pの接点をDとする。このとき

である。さらに、であり、である。
の面積はであり、の内接円の半径はである。
(1) Oの周上に、点Eを線分CEが円Oの直径となるようにとる。の内接円の中心をQとし、の内接円の中心をRとする。このとき、である。したがって、内接円Qと内接円R
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 内接する     異なる
2点で交わる
 外接する     共有点を持たない
(2) であるから、となる。
したがって、
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 点
Pは内接円Qの周上にある
 点
Qは円Pの周上にある
 点
Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの内部にある
 点
Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの外部にある

解答 図が描きにくい問題で、ODの長さで行き詰まった受験生が多かったようですが、直角三角形の相似に気づけば大したことはありません。
後半では、昨年に引き続き、
2円の位置関係が問われています。

は直角三角形です。三平方の定理より、

() 1 () 0 ......[]
AP
2等分線なので、
より、
APOP AOOH
() 3 () 1 () 0 () 5 ......[]
余弦定理より、
() 4 () 5 ......[]
において余弦定理より、

より、
() 2 () 4 () 5 ......[]
の面積は、 (三角形の面積を参照)
(
) 2 () 1 () 6 () 2 () 5 ......[]
内接円の半径をrとして、
......[]
(
) 6 () 5 ......[]

(1) において、 (円周角)AC共通より、
従って、の内接円の半径もです。また、QR // ACであって、 ∴
() 1 () 2 () 5 ......[]
よって、より、内接円Qと内接円Rは外接します。
() ......[]

(2) QACとの接点をFとすると、
() 6 () 1 () 0 () 5 ......[]
P,円Qともに、ABACに接するので、APQ2等分線上の点です。
() 1 () 0 () 5 ......[]
より、点Pは内接円Qの内側の点であって、点Qは円Pの内側の点です。
() ......[]


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  1. 2013/07/28(日) 00:17:27|
  2. センター数学'13年
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センター数学IA '13年第2問

 センター数学IA '13年第2問 

座標平面上にある点Pは、点Aから出発して、直線上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また、同じ座標平面上にある点Qは、点PAを出発すると同時に原点Oから出発して、直線上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2PQを考える。点POに達するのはのときである。以下、で考える。
(1) Px座標が等しいx軸上の点を,点Qx座標が等しいx軸上の点をとおく。の面積の和St で表せば
となる。これよりにおいては、Sは最小値をとる。
次に、
aを満たす定数とする。以下、におけるSの最小・最大について考える。
(i) Sで最小となるようなaの値の範囲は
である。
(ii) Sで最大となるようなaの値の範囲はである。
(2) 3OPQを通る2次関数のグラフが関数のグラフを平行移動したものになるのは、のときであり、x軸方向にy軸方向にだけ平行移動すればよい。
解答 動点を扱うところが珍しいですが、例年通りの2次方程式2次関数の問題です。

Pt 秒後のx座標は、
となるのは、のときです。

() 4 ......[]

(1) Py座標は、
の面積は、
Qt 秒後の座標は
の面積は、
() 7 () 1 () 6 () 3 () 2 ......[]
において、Sは、のとき、最小値をとります(2次関数の最大最小を参照)
() 8 () 7 () 1 () 6 () 0 () 7 ......[]
S
で最小になるのは、の範囲がを含むときで、となるとき、つまり、のときです。
() 1 () 7 () 8 () 7 ......[]
S
t の関数として表したグラフは放物線で、軸に関して対称なので、の範囲のちょうど中間にが来るとき、つまり、のときに、範囲の両端とでSの値が等しくなります。
従って、
Sが左端ので最大となるのは、のときです。
() 9 () 1 () 4 ......[]

(2) のグラフをx方向にpy方向にq平行移動したグラフの曲線を
とすると、
Oを通ることから、 ∴  ・・・①
Pを通ることから、 ・・・②
Qを通ることから、 ・・・③
①,③より、

より、 ・・・③
これと、①,②より、



③よりのときには、となり不適。よって、
このとき、

() 5 () 2 () - () 5 () 4 () - () 2 () 5 () 8 ......[]


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センター数学IA '13年第1問

 センター数学IA '13年第1問 

[1] とする。
このとき

であり、また

である。以上により

となる。

[2] 三角形に関する条件pqrを次のように定める。
p:三つの内角がすべて異なる。
q:直角三角形でない
rの内角は一つもない
条件pの否定をで表し、同様にはそれぞれ条件qrの否定を表すものとする。
(1) 命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は「 」である。
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 
(p かつ q)    ( かつ )
 ( または q)   ( または )
(2) 次ののうち、命題「(p または q) r」に対する反例となっている三角形はである。
に当てはまるものを、のうちから一つずつ選べ。ただし、の解答の順序は問わない。
 直角二等辺三角形
 内角がの三角形
 正三角形
 三辺の長さが
345の三角形
 頂角がの二等辺三角形
(3) r(p または q)であるための
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
 必要十分条件である
 必要条件であるが、十分条件ではない
 十分条件であるが、必要条件ではない
 必要条件でも十分条件でもない
解答 [1]分母の有理化と対称式、[2]は毎年恒例の条件・命題の問題です。

[1]
() 3 ......[]
() 2 () 4 ......[]
() 2 () 2 ......[]
より、
() 4 () 2 ......[]

[2](1) 命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は、「(p または )でない rでない」
つまり、「( かつ )
() ......[]
(2) の内角がの三角形は、三つの内角がすべて異なり、また、直角三角形でもないので、「pまたはq」を満たしますが、の内角があるので、rを満たしません。
の頂角の二等辺三角形は、2つの底角がで直角三角形ではないので、「pまたはq」を満たしますが、の内角があるので、rを満たしません。
が「
(pまたはq) r」の反例です。は、いずれも、「pまたはq」を満たしません。
()  () ......[]
(3) 命題「(p または q) r」は、(2)のように、反例が存在するので偽です。
命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は、(1)のように、「( かつ )
となりますが、「
かつ 」という条件は、三つの内角のうちに同じ角があって、かつ、という内角を含む、という条件になりますが、このときは、が成り立ちます。つまり、命題「r ⇒ (p または q)」は真です。
従って、
r(p または q)であるための十分条件ですが必要条件ではありません。
() ......[]


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