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京大物理'13年[3]

京大物理'13[3]

次の文章を読んで、  に適した式か値を、{  }からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。また、問1,問2については、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

1に示すように、ピストンWと仕切板Dによって内部の領域を分けられたシリンダーがある。シリンダーは固定されており、ピストンWと仕切板Dは摩擦なしに動くことができる。ピストンWと仕切板Dの間を領域Aとし、仕切板Dとシリンダー右端の間を領域Bとする。領域Aと領域Bには、異なる理想気体がそれぞれ密閉されている。定積モル比熱を,気体定数をRとすると、領域Aと領域Bに密閉さている気体のの値は、それぞれである。シリンダーの外壁とピストン,仕切板は、すべて断熱材でできている。領域Bの気体は、シリンダーの右端に取り付けられた温度調節器Cによって加熱または冷却される。領域Bの気体全体の温度は、すみやかに温度調節器の設定温度になるものとする。なお、温度調節器の電源を切ると、領域Bは断熱環境となる。さらに、シリンダー内部にはストッパーSが設けられており、仕切板がストッパーより右側に動くことはない。仕切板がストッパーの位置にあるときの領域Bの体積はである。ピストン、仕切板、ストッパー、温度調節器の体積は無視できるものとする。また、ピストンの左側は常に大気圧となっており、その値はである。
最初、領域
Aの気体の圧力、体積、温度は、それぞれであり、領域Bの気体の圧力、体積、温度は、それぞれであった。この状態を初期状態とする。このとき領域Aの気体と、領域Bの気体のモル数はそれぞれ、 あ  い である。初期状態から以下の(1)(4)に示す操作を行った。

(1) 温度調節器で領域Bの気体を加熱し、温度をからまでゆっくりと上昇させた。このとき、領域Bの気体の内部エネルギーの変化は う であり、領域Bの気体がした仕事は え であるから、領域Bの気体が温度調節器から吸収した熱量は お である。

理想気体の断熱変化では、は一定である。ここでγは比熱比と呼ばれ、定圧モル比熱をとすると、で定義される。理想気体では、の差 か に等しいことを考慮すれば、領域Aの気体の比熱比は き であり、領域Bの気体の比熱比は く である。
なお、以下の解答では、領域
Aの比熱比 き α,領域Bの気体の比熱比 く β と表記せよ。

(2) (1)で行った操作に引き続き、温度調節器で領域Bの気体の温度をに保ちながら、ピストンWに外力を加え、ゆっくりと右方へ押し込んでいった。仕切板DがストッパーSに接触したとき、ピストンWを押し込む操作を中断し、そのままの状態で保持した。このとき領域Aの気体の体積は け である。
1 (2)で行った操作で、外力が気体にした仕事を求めよ。ただし、領域Bの気体が温度調節器を通じて外部に放出した熱量をQとする。導出の過程も合わせて示せ。

(3) (2)で行った操作に引き続き、さらにピストンWを押し込んでいくと、領域Aの気体の体積がとなった。この時点でピストンWを押し込む操作を中断し、そのままの状態で保持した。このとき、領域Aの気体の圧力は こ である。
2 (2)で行った操作の開始から(3)で行った操作の終了までの間において、領域Aの気体と領域Bの気体の状態変化を、横軸を体積、縦軸を圧力として図示せよ。また、領域Bの気体がされた仕事に相当する領域を図中に斜線で示せ。ただし、各操作の過程で状態の変化があるときは、変化の進む方向に矢印を付し、その変化の始状態と終状態における体積と圧力を図中に記入せよ。

(4) (3)の操作に引き続き、温度調節器で領域Bの気体を加熱した。仕切板D がストッパーから離れかけた瞬間に温度調節器の電源を切り、領域Bを断熱環境とした。その後、領域Aの気体の圧力が大気圧に等しくなるまで、ゆっくりとピストンWを左方に移動させた。このとき、領域Bの気体の体積は さ であり、そのときの領域Aの気体の体積{し:①より大きい ②より小さい ③と等しい}。また、この過程で領域Aの気体のした仕事は、領域Bの気体のした仕事{す:①より大きい ②より小さい ③と等しい}。気体の仕事に関するこのような性質は、熱機関における効率を考える上で重要である。

解答 比熱比が違うと断熱変化のp-V図がどう違うのかという趣旨の問題です。興味深い問題ですが、()以降はほぼ正解者ゼロと想像します。物理では、問題文を読まずに多分こういう問題だろうと決めつけて解答する豪傑がいますが、本問は、そうした豪傑でもなければ解けないでしょう。難問だからではなく、問題文が不備だからです。
(1)の問題文に、温度調節器で気体Bを加熱している間、気体A温度、またピストンや仕切板をどうしていたのかの記述がありません。ここでは、大気とのつり合いが保たれていて、気体A温度は変化しない、つまり、気体Aの状態変化はなく、気体B定圧変化をしたものとして解答します。(4)問題文の{}の前の「この過程」も、どの過程を指すのかわかりませんが、ここでは温度調節器の電源を切った後の過程として解答します。試験会場で受験生はどうしたのでしょうか?
1では、大気も気体Aと気体B仕事をしていることに注意します。

(1) 気体Aのモル数をとして、 最初の気体A状態方程式は、
 ∴
() ......[]
気体Bのモル数をとして、最初の気体B状態方程式は、
 ∴
() ......[]
なので、気体B内部エネルギーの変化は、
() ......[]
気体Bを加熱している間、ピストン、仕切板に働く力のつり合いが成立していて、気体A,気体B圧力のままと考えます。
気体
Bの加熱後の状態方程式は、体積として、
()の結果より、
気体
Bがした仕事は、
 (気体がした仕事を参照)
() ......[]
(
)()の結果より、気体Bが吸収したは、
() ......[]
マイヤーの関係式より、
() R ......[]
気体Aの比熱比はより、 ()
(
) ......[]
気体Bの比熱比はより、 ()
(
) ......[]

(2) ピストンを押し込む間も、仕切板に働く力のつり合いが成立していて、気体Aと気体B圧力は等しくなります。仕切板がストッパーSに接触した時点の圧力,気体A体積温度として、気体A状態方程式は、
 ・・・①
等温変化した気体B状態方程式は、
()の結果より、
問題文の
断熱変化の関係式(ポアッソンの関係式)より、
 ∴
() ......[]
1 ①と()の結果より、
 ∴
気体A内部エネルギーの変化は、より、()の結果を用いて、
気体Bは、等温変化をするので内部エネルギーの変化0,放出した熱量Qで、熱力学第1法則より、領域Bの気体のした仕事は、
気体
Aが仕切板を通して気体Bにした仕事は、
この間の気体
A気体B合わせた体積変化は、
ピストンを介して気体Aが大気に抗してした仕事が、
外力が気体にした仕事Wとして、気体Aがした仕事は、
気体A断熱変化をしているので、熱力学第1法則より、
......[]

(3) ここでも気体A断熱変化をします。
体積になったときの気体A圧力として、ポアッソンの関係式より、()の結果を用いて、
 ∴
() ......[]
2 (3)の過程では仕切板がストッパーで止まっているので気体Bの状態は変化しません。気体B(2)の過程で等温変化して、と変化します。
気体A(2)(3)を通じて断熱変化し、と変化します。
等温変化
p-V図よりも断熱変化p-V図の方が傾きが急になることに注意してください。
領域
A,領域Bの気体の状態変化を図示すると右図(斜線部は領域Bの気体がされた仕事)。なお、です。

(4) 温度調節器で気体Bを加熱して、気体Aと同じ圧力になったとき、気体B体積で、この後、温度調節器の電源を切った後は、気体B,気体Aともに断熱変化をします。
ピストンを引いて気体A圧力,従って気体B圧力としたときの気体B体積とすると、ポアッソンの関係式より、
 ∴
() ......[]
気体Bを加熱している間、仕切板は動かないので、気体Aの状態は変化せず、圧力体積のままです。
温度調節器の電源を切った後、気体
A,気体Bはともに断熱変化をしますが、ポアッソンの関係式において、気体Bの方が比熱比γが小さいのでp-V図は、気体Bの方がなだらかになります(のグラフとのグラフを比べてみてください)
温度調節器の電源を切った時点で気体
Aと気体B圧力体積は一致しているので、その後両気体の体積が増加して両者の圧力となったとき、体積は気体Bの方が大きくなり、気体Bp-V図が気体Ap-V図の上に来ます。p-V図とV軸とで囲む面積が気体のした仕事に一致するので、気体のした仕事は気体Bの方が大きくなります。
() ① () ......[]
注.圧力に戻ったときの気体A体積として、ポアッソンの関係式より、 ∴ ,つまり、気体Aは最初の状態に戻ります。気体B体積()よりとなっています。


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  1. 2013/06/30(日) 22:27:00|
  2. 京大物理'13年
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京大物理'13年[2]

京大物理'13[2]

次の文章を読んで、  に適した式か値を、それぞれの解答欄に記入せよ。問1,問2については、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
なお、以下の設問では、極板等はすべて真空中にあり、真空の誘電率をとする。コンデンサーの極板は極板間距離に比べて十分大きく、極板端での電場の乱れは無視できる。導線や導体の抵抗は無視できるものとし、導線はしなやかで軽く、質量が無視できるとともに、極板の動きに影響を与えないものとする。また、重力加速度を
gとする。

(1) 1のように、極板①と極板②からなる平行板コンデンサーがある。極板①は固定されており、極板②は左右に滑らかに動かすことができる。コンデンサーの極板の面積をSとし、極板①には電荷が、極板②には電荷が蓄えられているものとする()
極板①に垂直で極板②に向かう方向をx軸とし、極板①の位置を,極板②の位置をとする()。このとき、コンデンサーに蓄えられているエネルギーW イ である。ここで、極板②を平行に保ったまま微小距離だけ極板①と反対方向に動かしたあとにコンデンサーに蓄えられているエネルギー ロ である。このエネルギーの変化は、極板①と極板②が引き合う力に逆らって動かしたために生じたものである。そこで、このエネルギーの変化から極板②に働く力の大きさを求めると、 ハ となる。

(2) 2のように、極板③と極板④、および極板⑤と極板⑥からなる2つの平行板コンデンサーがある。極板③は固定されている。極板④と極板⑤は質量が無視できる導体の棒で接続されて一体化しており、極板を平行に保ったまま上下に滑らかに動かすことができるものとする。図2のように2つのコンデンサーは直列に接続されており、電圧Vがかかっている。これら2つのコンデンサーは十分離れており、互いにクーロン力を及ぼさない。極板③と極板④の面積はともに,極板⑤と極板⑥の面積はともに,それぞれの極板の質量は面積に比例し、その比例定数をpとする()2つのコンデンサーの極板間距離をともにdとする。このとき、極板③と極板④が引き合う力の大きさは ニ である。
いま、極板が引き合う力と重力がつり合うように電圧Vを調整すると、2つのコンデンサーの極板間距離がともにdとなった状態で静止した。このとき、極板の面積 ホ 倍であり、電圧Vは、極板の面積を用いることなく ヘ と表すことができる。

(3) 3のように、極板⑦と極板⑧,および極板⑨と極板⑩からなる2つの平行板コンデンサーがある。極板⑦と極板⑩は固定されている。極板⑧と極板⑨は質量が無視できる絶縁体のバネで接続されており、極板を平行に保ったまま上下に滑らかに動かすことができるものとする。このバネのバネ定数はkである。2つのコンデンサーは十分離れており、互いにクーロン力を及ぼさない。すべての極板の面積はSであり、質量をとする()
いま、極板⑦,極板⑧にはそれぞれの電荷が帯電しており、極板⑨,極板⑩にはそれぞれの電荷が帯電しているものとする()。図中のスイッチは開いており、極板が引き合う力、重力、バネの力がつり合ってすべての極板は静止している。また、2つのコンデンサー極板間距離をともにdとする。このときのバネの自然長からの伸びは、Qを使わずに表すと ト である。
次に、時刻でスイッチを閉じると同時に、極板⑧が静止したまま極板⑨が単振動を始めるように
qの値を選ぶとともにQを時刻tに応じて適切に制御した。この単振動の中心は極板⑨の最初の位置から チ だけ上方にあり、その振幅は リ である。また、振動の周期T ヌ である。
1 極版⑦と極板⑧の間には引力しか働かないため、極板⑨の振幅が大きい場合は極板⑧を静止させておくことができなくなる。極板⑨が単振動している間、Qを制御することで極板⑧を静止させておくことができるqの範囲を求めよ。導出の過程もあわせて示せ。
2 極版⑨が単振動している間、極板⑧を静止させておくためのQを時刻t の関数として求めよ。導出の過程もあわせて示せ。

解答 ()()あたりの計算の巧拙が勝負の分かれ目です。(3)1の問題文がうまくないので、かなり悩みますが、極板⑨に働く重力も考慮に入れるようにしてください。

(1) コンデンサー静電容量です。電荷qが蓄えられているとき、静電エネルギーWは、 (コンデンサーの過渡現象を参照)
() ......[]
極板②を動かしたあとの静電容量静電エネルギーは、
() ......[]

(
) ......[]

(2) 極板③と極板④の間のコンデンサーの静電容量は、,極板⑤と極板⑥の間のコンデンサーの静電容量は、直列接続合成容量は、

極板③,④,⑤,⑥に蓄えられる電気量の大きさは、
()の結果を用いて、極板③と極板④が引き合うの大きさは、
 ・・・(a)
() ......[]
同様に、 ・・・(b)
一体化している極板④と極板⑤が受けるは、上向きのクーロン力,下向きのクーロン力,極板④と極板⑤が受ける重力,これらのつり合いより、
 ・・・(c)
極板⑥が受けるは、上向きのクーロン力,下向きの重力,これらのつり合いより、
 ∴  ・・・(d)
(a)÷(b)より、
(d)より、
(c)より、

() ......[]
この結果と、(b)(d)より、

(
) ......[]

(3) このとき、極板⑦と極板⑧の間に働くクーロン力は、,極板⑨と極板⑩の間に働くクーロン力は、となります。
極板⑨に働くは、バネの自然長からの伸びxとして、上向きの弾性力,下向きのクーロン力,下向きの重力です。これらの力のつり合いより、
(とします)
(
) ......[]
時刻でスイッチを閉じると、極板⑨と極板⑩の間に働くクーロン力がなくなり、極板⑧が静止したままなので、静止していた極板⑨はこのときの位置を振動端として単振動を始めます。単振動の中心は、がなくなったときの、極板⑨に働くのつり合いの位置(とします)です。
 ∴
は最初の位置から、
だけ上方にあります。
(チ) ......[答]

()の結果は、振動端振動中心の間の距離、つまり、単振動の振幅です。
() ......[答]
極板⑨の
加速度aとして、極板⑨の運動方程式は、
 ∴
よって極板⑨の単振動の角振動数は、
単振動の
周期は、
() ......[]
1 極板⑧に働くは、上向きのクーロン力,下向きの弾性力,下向きの重力です。極板⑧が静止しているなら、これらの間に力のつり合いが成立するはずで、
 ・・・(e)
これより、であれば制御可能です。
単振動は、
振動中心とし、振幅なので、
この範囲のxの値に対して制御可能であるために、
 ∴ ......[]
2 振動中心で、振幅において、であったことから、
(e)より、
......[]


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  1. 2013/06/20(木) 23:22:32|
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京大物理'13年[1]

京大物理'13[1]

次の文章を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じ式を表す。また、問1,問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

以下の設問では、地球は半径
Rの球であり、密度は一様に分布していると考えてよい。また、地球の質量をM,万有引力定数をGとし、地球の自転の影響、摩擦、および空気の抵抗は無いものとする。

(1) 1のように、地球の中心Oを通って直線状に掘られたトンネルを考える。トンネルは十分に細く、トンネルを掘ったことによる質量の変化は無視できるものとする。トンネル内の任意の1P ()で質量mの質点に働く重力は、Oを中心とした半径rの球の質量が中心Oに集まったとして、それと質点との間の万有引力に等しく、半径rの球の外側の部分は、この点での重力には無関係であることが知られている。したがって、トンネル内の1Pにおいて質点に働く重力の大きさは、mMRrGを使って ア と表すことができる。この力による質点の運動は単振動であり、その周期は イ で与えられる。

(2) 次に、図2のように、トンネルを通る直線に沿って、地表からの高さがhの点に質量μの質点Aを静かに置き、静止した状態からトンネルに落下させ、中心Oに静止している質量mの質点Bに衝突させる。質点Aがトンネルに入る瞬間の速さは ウ で、中心Oに到達する直前の速さは エ である。衝突は弾性衝突であるとすると、衝突直後の質点Aの速さは オ ,質点Bの速さは カ となる。衝突後、質点Bは反対側の地表に達した。
1 とした場合に、この後質点Bが無限の遠方に飛び去るために必要なの値の範囲を求めよ。導出の過程もあわせて示せ。

(3) 今度は、図3のように、地球の中心Oからだけ離れたところを通る直線状の細いトンネルを掘った。中心Oからの距離がrで、トンネルの中心からxだけ離れたトンネル内のP点にある質量mの質点に働く重力の大きさは ア なので、その質点に働くトンネルに沿った方向の力の大きさは、mMRxGを使って キ で与えられる。したがって、地表で静止した状態からトンネルを通って反対側の地表に出るまでにかかる時間は ク である。

(4) 次に、図4のように、質量μの質点Aをトンネルの端点に静かに置き、静止した状態からトンネルに落とし、トンネルの中心に静止している質量mの質点Bに衝突させた。衝突は弾性衝突であるとすると、質点Bが反対側の地表に達するための条件は ケ で与えられる。また、質点Bが地表から飛び出した後、再び地表にもどってくるための条件は コ となる。
2 地表から飛び出した瞬間の質点Bの運動エネルギーが、そのときの位置エネルギーの大きさの半分である場合を考える。地表を飛び出した後の質点Bの運動では、面積速度が一定となる。質点Bが地球から最も離れた地点に達したときの中心Oからの距離を求めよ。導出の過程もあわせて示せ。
なお、図
5のように質点が地球の中心Oから距離rの位置を速さvで運動している場合、その面積速度はで与えられる。ただし、θ は地球の中心から軌道上の質点に向かう方向と速度のなす角度である。

解答 数学の試験問題の簡単さに比べて、物理の複雑さは何なのか、と、言いたくなりますが、物理は質的にも量的にもボリューム満点で時間内にやりきるのは困難でしょう。
本問は、地表から外部と内部とで
位置エネルギーの考え方を変える必要があるところがポイントになっています。(2)()(3)()で悩みますが、(1)でトンネル内で質点が単振動することを手がかりとして考えましょう。

(1) 半径rの球の体積半径Rの球の体積,地球の質量Mであることから、地球の密度ρとして、
 ∴
Oを中心とした半径rの球の質量は、
質点に働く
重力の大きさは、万有引力の公式より、
() ......[]
重力の向きはrを減少させる方向で、質点の加速度aとして、質点の運動方程式は、

これは、質点が角振動数の単振動を行うことを示します。単振動の周期Tは、
() ......[]

(2) 高さhの点での位置エネルギーは、
地表での位置エネルギーは、,トンネルに入る瞬間の速さvとして、運動エネルギーは、
両地点での
力学的エネルギー保存より、
 ∴
() ......[]
(1)
で見たように、質点はトンネルに入ると、角振動数ω の単振動をします。これを、バネ定数kのバネ振り子と同様に考え、位置エネルギーと考えると、()の結果よりとすることにより、地球の中心から距離rの地点にいる質点A位置エネルギーは、
トンネルに入る瞬間
()位置エネルギーは、
トンネルの中心に到達する直前の質点
A速さとして、トンネルに入る瞬間とトンネルの中心との力学的エネルギー保存より、
()の結果を用いて、

(
) ......[]
衝突直後の質点A,質点B速度をそれぞれ、とすると、衝突前後の運動量保存より、
 ・・・①
弾性衝突であることから、反発係数の式は、
 ・・・②
②より、,これを①に代入して、
 (質点A速さ)
() () ......[]

1 のとき、です。このとき、地表に達したときの質点B速さとして、衝突直後と地表に達したとき(位置エネルギーは、()と同様に考えて)との力学的エネルギー保存より、

無限遠方での質点B速さとして、無限遠方と地表との力学的エネルギー保存より、




 ∴ ......[]

(3) 質点が点Pにいるとき、地球の中心Oとの距離として、質点に働く重力のトンネルに沿った方向の成分の大きさは、
() ......[]
(
)の向きはxを小さくする方向で、加速度として、運動方程式は、

これは、質点が角振動数の単振動を行うことを意味します。
地表で静止した状態からトンネルを通って反対側の地表に出るまでにかかる
時間は、単振動の周期で、
() ......[]

(4) (3)の単振動の振幅は、最初、地表で静止していたので、トンネルの端点と中心との距離に等しく、です。
単振動の公式より、質点Aの衝突直前の速さは、
()()と同様にして、衝突直後のB速度は、
()と同様にして、バネ振り子からの類推で位置エネルギーを考えます。加速度として、運動方程式は、
となるので、バネ定数として、位置エネルギーは、,トンネルの端点では、との距離なので、のとき、となります。
1と同様にして、地表に達したときの質点B速さとして、衝突直後と地表に達したときとの力学的エネルギー保存より、
 ・・・①
より、
() m ......[]
であれば、質点は地球の引力圏を脱して無限遠に飛び去ってしまうので、戻ってくるためには、




()

2 問題文より地表での運動エネルギーであることから、①より、

地表から飛び出す瞬間の力学的エネルギーは、
地球から最も離れた地点と地球の中心との
距離,ここでの質点B速さとすると、力学的エネルギー保存より、
 ∴
地表から飛び出すとき、飛び出す地点と地球の中心を結ぶ直線と、トンネル方向、即ち、質点B速度とのなす角はです。
面積速度は、地表から飛び出すとき、,最も離れたとき、面積速度一定より、


 ∴ ......[]


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  1. 2013/06/16(日) 16:44:51|
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