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京大理系数学'13年[6]

京大理系数学'13[6]

投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。数直線上に石を置き、この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し、裏が出れば数直線上で座標1の点に関して対称な点に石を移動する。
(1) 石が座標xの点にあるとする。2回硬貨を投げたとき、石が座標xの点にある確率を求めよ。
(2) 石が原点にあるとする。nを自然数とし、回硬貨を投げたとき、石が座標の点にある確率を求めよ。

解答 あまりに単純すぎて受験生が試験会場で懐疑的になり、かえって難問になったのではないか、という気さえする確率の問題です。

(1) 右図より、石が座標xの点にあるとき、2回硬貨を投げて、座標xの点に来るのは、表表と出るか、裏裏と出る場合で、その確率は、
......[]

(2) (1)の樹形図より、石が座標xの点にあるとき、2回硬貨を投げて、
(i) 表裏と出ると、に移動(事象Aとします)し、
(ii) 表表、または、裏裏と出ると、xに留まり(事象Bとします)
(iii) 裏表と出ると、に移動します。
石が原点にあるとき、回硬貨を投げると、最も進むとき(事象An回起こる)で座標がの点まで進みます。
回硬貨を投げて座標の点まで来るのは、事象
A回、事象B1回起こるときです。求める確率(反復試行の確率を参照)は、
......[]


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  1. 2013/06/05(水) 10:55:46|
  2. 京大理系数学'13年
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京大理系数学'13年[5]

京大理系数学'13[5]

xy平面内で、y軸上の点Pを中心とする円C2つの曲線
, 
とそれぞれ点A,点Bで接しているとする。さらに△PABABy軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする。このとき3つの曲線Cで囲まれた部分の面積を求めよ。
ただし、
2つの曲線がある点で接するとは、その点を共有し、さらにその点において共通の接線をもつことである。

解答 円Cと、曲線,曲線とが接するとき、円の中心と接点を結ぶ半径は、曲線,曲線の法線になります。

とは
y軸に関して対称です。さらに円Cy軸に関して対称です。従って、接点ABy軸に関して対称です。として、Aの座標をとすると、Bの座標はとなります。△PABが正三角形であることから、円の中心Py座標cは、

について、定義域はであって、 
(微分の公式を参照)
(i) A上の点であるとき、 ()
Aにおける接線の傾きは
Aにおける法線の傾きが直線PAの傾きに一致することから、

より不適。
(ii) B上の点であるとき、 ()
Bにおける接線の傾きは
Bにおける法線の傾きが直線PBの傾きに一致することから、
より、
従って、点
A上の点です。
半径の円のから、14の正三角形の面積を引いた面積は、
線分ABx軸,2直線で囲まれた長方形の面積は、
x軸,直線で囲まれる部分の面積は、
求める面積(右図黄緑色着色部)は、
......[]


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  1. 2013/06/03(月) 01:10:02|
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京大理系数学'13年[4]

京大理系数学'13[4]

におけるの最大値を求めよ。ただしおよびが成り立つことは証明なしに用いてよい。

解答 数値の評価があるとはいえ、平凡な微分の問題です。


 (微分の公式を参照)
とすると、においては、

これで、以下の増減表が得られます(関数の増減を参照)
x


00
なので、です。
従って、より、方程式の範囲にただ一つの解α ()をもちます。また、より、方程式の範囲にただ一つの解β (,実はです)をもちます。
結局、方程式は、の範囲に、
3つの解、α0βをもちます。
こうして次の増減表が得られます。
x
α
0
β
000
1
1を比較すると、
よって、求める最大値は ......[]


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  1. 2013/05/31(金) 12:59:40|
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京大理系数学'13年[3]

京大理系数学'13[3]

nを自然数とし、整式を整式で割った余りをとする。このときabは整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。

解答 ちょっと見た目には難問か?という感じがしないでもないですが、やってみると易問です。以前の重厚な京大数学の面影は微塵もありません。

整式を整式で割ると、
2次式で割るので、余りは1次式です。商を,余りをとします(多項式の除算を参照)
ここでは、2次方程式の解 (とおきます)を代入してみるのが定石です。

より、
こうして、本問は、2次方程式を利用した次数下げの問題に帰着します。
以下、
数学的帰納法により証明します。
() のとき、より、です。ともに整数で、10をともに割り切る素数は存在しないので、題意は成立します。
() のとき、とおけて、がともに整数であり、かつ、をともに割り切る素数は存在しないと仮定(これは、数学的帰納法の仮定です)します。
 ( )
従って、を、
 ・・・①
となるように決めれば、とおくことができます。
また、①より、は整数です。ここで、をともに割り切るような素数
pが存在すると仮定(これは、背理法の仮定です)すると、 (mは整数)とおくことができます。①より、

もともに素数pで割り切れることになり、数学的帰納法の仮定に反します。よって、「をともに割り切るような素数pが存在する」とした仮定は誤りで、をともに割り切るような素数pは存在しません。
()()より、nを自然数として、整式を整式で割った余りをとすると、abは整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しません。


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  1. 2013/05/30(木) 01:00:05|
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京大理系数学'13年[2]

京大理系数学'13[2]

N2以上の自然数とし、 ()を次の性質(i)(ii)をみたす数列とする。
(i)
(ii) に対して、
が偶数のときが奇数のとき
このときどのような自然数Mに対しても
が成り立つことを示せ。

解答 こうしたイメージのつかみにくい問題では、nNに文字を入れて具体的に調べるようにしましょう。本問は、カラクリがつかめてしまえば、大したことはありません。
のとき、,以後、に対してです。
のとき、,以後、に対してです。
のとき、,以後、に対してです。
のとき、,以後、に対してです。
のとき、,以後、に対してです。
これくらい調べれば、数列のカラクリがつかめます。
Nに対して、数列は、はじめの方が異なるだけで、最後の方は同じになります。特に奇数・偶数の並び方は、であれば、だけが偶数で、それ以外は奇数です。
そこで、まず、各
Nに対して、数列nを用いて表してみます。最初にとなるnは、上記からの場合を除いて、のときです。
Nに対して、各項は、最初の方が自然数で、途中から0になるので、が最大になるのは、のときです。
答案は以下のようになるでしょう。

のとき、は奇数なので、,以後、に対して

どのような自然数Mに対してもより与不等式は成立する。
のとき、は奇数なので、
は偶数なので、
以後、について、と仮定すると、となるのは、,つまり、のときで、このとき、は奇数なので、
従って、帰納的に、を満たす
nについて、 () (数学的帰納法を参照)
特に、,よって、を満たすnについて、
注.つまり、数列は、最初の
2項が、となり、
以降は、,・・・,
31 ()15 ()7 ()3 ()1 ()00,・・・ となっているわけです。

以上より、のとき、どのような自然数
Mに対しても、
 (とおいた)
 (等比数列を参照)
よって、N2以上の自然数とするとき、どのような自然数Mに対しても、が成り立つ。


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