FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

東工大数学'13年前期[5]

東工大数学'13前期[5]

abを正の実数とし、円と楕円を考える。
(1) に内接するためのabの条件を求めよ。
(2) とし、に内接しているとする。このとき、第1象限におけるの接点の座標を求めよ。
(3) (2)の条件のもとで、の範囲において、で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答 円と楕円が接する問題は、東大理系'96年前期[6],東工大'98年後期[2]などの類題があります。
に内接するとき、楕円の軸端点において接する場合と、軸端点以外の第
1象限、第4象限において接する場合の2通りがあることに注意します。

(1) の式を変形して、 ・・・①
の式を変形して、 ・・・②
①と②を連立すると、

 ・・・③
①でより円の存在範囲は、 ・・・④
②でより楕円の存在範囲は、 ・・・⑤
に内接するので、④の範囲は⑤の範囲に含まれる必要があります。よって、
ここで、の接し方で場合分けします。
(i) のとき、円は、を直径の両端とする円になりますが、このとき、において接します。
このとき、③は、
この2次方程式は、のほかに、のときには見かけ上という解をもっています。円が円に内接する条件は、2次方程式③が、④の範囲:以外の解を持たないこと(解をもってしまうと、ここでが交わることになります)です(2次方程式の一般論を参照)。つまり、となるか、または、,または、
よって、,または、,または、かつ
以上より、
より、
(ii) のとき、より、円においてと接することはなく、接するとすれば、においてであって、に第1象限、第4象限で内接します。
このときは、円が円に内接する条件は、2次方程式③が、④の範囲:に重解をもつことです。
()
このとき、重解は、
これが③の範囲に属することから、

 ∴
以上より、求める条件は、
かつ
または、かつ ......[]

(2) は、を満たすので、このとき、に第1象限、第4象限において内接します。
(1)より③でとすると、

 ∴
②より、 ∴
よって、第
1象限の接点は ......[]

(3) 以下、とします。求める面積Sは、に挟まれた部分()の面積で、

最初の積分は、半径の円の (頂角の扇形)と、底辺,高さの三角形の面積の和であり、最後の積分は、半径の円の (頂角の扇形)と、底辺,高さの三角形の面積の和になります(置換積分(その2)を参照)

......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2013
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2013/03/25(月) 14:04:46|
  2. 東工大数学'13年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東工大数学'13年前期[4]

東工大数学'13前期[4]

正の整数nに対し、の範囲においてを満たすxの区間の長さの総和をとする。このとき、を求めよ。

解答 は、和を積に直す公式を利用して考えます。
いきなり、正の整数
nのまま解答しはじめても大丈夫ですが、ここでは、として状況を調べてみます。

のとき、

の範囲でとなるのはのみ。
の範囲でとなるのはのみ。

x0

0
0
00
表より、となるのは、のときで、

のとき、
の範囲でとなるのはのときで、
の範囲でとなるのはのときで、

x0



00
00
0000
表より、となるのは、のときで、

のとき、
の範囲でとなるのはのときで、
の範囲でとなるのはのときで、

x0





000
000
000000
表より、となるのは、のときで、

正の整数nに対し、の範囲においてより、
の範囲でとなるのは、 ()のときで、
の範囲でとなるのは、
()のときで、
ここで、

となることに注意します。
また、について、
において、とは同符号で、
において、とは異符号で、
よって、

 (Σの公式を参照)

......[] (数列の極限を参照)


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2013
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2013/03/21(木) 14:08:32|
  2. 東工大数学'13年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東工大数学'13年前期[3]

東工大数学'13前期[3]

kを定数とするとき、方程式の異なる正の解の個数を求めよ。

解答 試験場で熱くなってしまうと気づきにくいですが、とおくと、です。とりあえず、関数の雰囲気をつかむためにも、簡単な数値を代入してみる、という心がけが大切だということでしょう。

 (微分の公式を参照)
となりますが、これ以外にとなるxがあるかどうか調べます。
とすると、
両辺の対数
(底:e)をとり、
 ・・・①
のとき、①は成立し、 ・・・②
においては、①より、


とおきます。を満たすx以外にあるかどうか調べます。
ここでとしてみても埒があかないので、この分子を
とおいて、さらに調べます。
とすると、
においてより減少,においてより増加
(関数の増減を参照),よって、
よって、において
これより、は、において増加関数で、
(極限の公式を参照)
ですが、これ以外に、となる
xはありません。
において
において
において
以上より、の増減表は以下のようになります。

x0
1
e

00
10
増減表より、の正の解の個数は、のとき0個,のとき1個,のとき2個,のとき3 ......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2013
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2013/03/20(水) 01:35:04|
  2. 東工大数学'13年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東工大数学'13年前期[2]

東工大数学'13前期[2]

2次の正方行列に対して、と定める。
(1) 2次の正方行列ABに対して、が成り立つことを示せ。
(2) Aの成分がすべて実数で、が成り立つとき、の値を求めよ。ただし、E2次の単位行列とする。

解答 ケーリー・ハミルトンの定理を利用して次数下げを行う問題です。

(1) とします。



 (逆行列を参照)

(2) (1)を利用して、
Aの成分はすべて実数なので、も実数です。
 ・・・①
ケーリー・ハミルトンの定理より、
より、

 ・・・②
以後、が出てくるたびに、と入れ替えます。

 ・・・③

これより、③は、
・・・④ または ・・・⑤
・④のとき、 ・・・⑥
・⑤のとき、ならとなりですが、は両立しないので不適。従ってですが、となり、 ・・・⑦ とおけば、の形に書けます。このときは、となりますが、⑦より、

このうち、では、であって、とならない(の形であれば⑥よりになる)ので、 ・・・⑧
①,⑥,⑧より、 ......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2013
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2013/03/19(火) 17:01:06|
  2. 東工大数学'13年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東工大数学'13年前期[1]

東工大数学'13前期[1]

(1) 2次方程式2つの解αβ に対し、はすべての正の整数nについて5の整数倍になることを示せ。
(2) 6個のさいころを同時に投げるとき、ちょうど4種類の目が出る確率を規約分数で表せ。

解答 (1)は類題が'86[1]にあります。(2)は難しくないですが、丁寧に場合の数を調べる必要があります。

(1) 2次方程式の解と係数の関係より、 ・・・①
のとき、①より、,これは5整数倍であって、与えられた命題は成り立ちます。
のとき、①より、
これは5の整数倍であって、与えられた命題は成り立ちます。
のとき、5の整数倍であると仮定します。pqを整数として、
 ・・・②
とおけます。①,②を利用して、

5の整数倍であって、のときにも与えられた命題は成り立ちます。
以上より、数学的帰納法により、すべての正の整数nについて5の整数倍になります。
別解.3項間漸化式の特性方程式がになることを利用すれば、3項間漸化式を考えることもできます。
とおくと、


 ( )
5の整数倍で、pqを整数として、であれば、
5の倍数です。

(2) 6個のさいころを投げるとき、各々の目の出方は、通りあります。
ちょうど4種類の目が出るのは、(i) 6個のうち3個が同じ目で、他の3個が互いに異なり、かつ、同じ目の3個とも異なる。か、(ii) 6個のうち2個が同じ目で、2個がこれとは異なる同じ目で、他の2個がこの2種の目と異なり、かつ、互いに異なる目になる。場合です。
(i)のとき、4種類の目の選び方が通り。6個のうち同じ目になる3個の選び方が通り。4種類の目の並び方が、通り。通りあります。
(ii)のとき、4種類の目の選び方が15通り。6個のうち同じ目になる2組の2個のさいころの選び方が、通り(2組は区別できない)4種類の目の並び方が24通り。通りあります。
求める確率は、
......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2013
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2013/03/13(水) 23:58:45|
  2. 東工大数学'13年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。