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東大文系数学'13年[3]

東大文系数学'13[3]

abを実数の定数とする。実数xy
をともに満たすとき、の最小値を求めよ。

解答 難問とは言えませんが、慎重な場合分けの考察が必要な問題です。なお、線形計画法を参照してください。

をともに満たす領域Dは右図黄緑着色部(境界線を含む)になります。
なお、
C,直線の交点は、両式を連立して解くことにより、ABです。
より、

 ・・・①
これは、のとき、半径,中心の円です。
のときは、となり、ただ
1点です。zは、ただ1通りの値しかとり得ないので、この場合のzの最小値は、です。
のときは、①を満たすは存在しません。
以下、円①の中心が、
(i)領域Dの外側にある場合、(ii)領域Dの内部にある場合、に分けて考察します。
(i) 円①の中心が、領域Dの外側にある場合
このときは、円①が領域Dと共有点をもつために少なくとも (つまり、)となり、zが小さくなると円①の半径が小さくなることに注意して、円①と領域Dが共有点をもつ条件を考えます。
円の半径が小さくなりすぎると、領域
Dと共有点をもたなくなります。
従って、
zが最小になるとき、円①は領域Dと接するか、領域Dと点A,点Bのみを共有するようになります。
領域
Dのどの部分で接するかにより、場合分けをします。右図に(a)(d)の各状況を図示します。
(a) 円①が、円Cの優弧上の1Pで接する場合
円①の中心は円Cの外側にあり、円①の中心と円Cの中心を結ぶ直線は接点Pを通ります。従って、この場合、Pが優弧上に位置するためには、円①の中心は、直線OA ()から左側かまたは直線OB ()から下側の領域になければなりません。
つまり、は、「かつ
または」を満たします。
zが最小値になるとき、2円は外接するので、2円の中心間距離は2円の半径の和に一致します。よって、
(b) 円①が、線分ABと接する場合
接点をQとして、円①の中心とQを結ぶ半径は線分ABと垂直になるので、円①の中心は、線分AB(直線)の右上であって、線分AB(直線)Aで直交する直線()と、線分AB(直線)Bで直交する直線()にはさまれた領域に存在しなければなりません。
つまり、は、「かつ」を満たします。

zが最小値になるとき、円①の半径は、円①の中心と直線との距離に一致します。よって、

(c) (a)(b)以外で、円①が、領域DAのみを共有する場合
このとき、は、かつを満たします。
zが最小値になるとき、円①はAを通ります。
(d) (a)(b)以外で、円①が、領域DBのみを共有する場合
このとき、は、かつを満たします。
zが最小値になるとき、円①はBを通ります。
(ii) 円①の中心が、領域Dの内部にある場合
このときは、①がただ1を表すときにも、領域Dと共有点をもつので、このときzは最小となり、
以上まとめて、zの最小値は、
かつ「または」のとき、
かつのとき、
かつのとき、
のとき、
かつのとき、
......[]


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  1. 2013/12/02(月) 02:23:30|
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東大文系数学'13年[2]

東大文系数学'13[2]

座標平面上の3
PQA ()
を考える。
(1) 2つの線分の長さの差aによらない定数であることを示し、その値を求めよ。
(2) Qを端点としAを通る半直線と放物線との交点をBとする。点Bから直線へ下ろした垂線と直線との交点をCとする。このとき、線分の長さの和
aによらない定数であることを示し、その値を求めよ。

解答 まともに体当たりすべきか試験場で迷うところですが、悩むくらいなら強行突破した方がよい、という問題です。実質的には二重根号を外すだけの計算問題です。
理系の方は、
放物線双曲線を参照してください。

(1) 素直に計算します。


......[]

(2) (1)も含めて数学Cの知識を使えば計算するまでもないのですが、ここでは素直に計算してみます。
(1)より、なので、
Bx座標をbとするとy座標はです。
()
......[]


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  1. 2013/11/06(水) 09:43:00|
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東大文系数学'13年[1]

東大文系数学'13[1]

関数のグラフをC,原点Oを通る傾きtの直線をとし、CO以外に共有点をもつとする。Cの共有点をOPQとし、の積をとおく。ただし、それら共有点の1つが接点である場合は、OPQのうちの2つが一致して、その接点であるとする。関数の増減を調べ、その極値を求めよ。

解答 極値の計算など、技巧を要する面はありますが、ほとんど考えるところのない、単に面倒な計算問題です。

C ・・・①
 ・・・②
①,②を連立すると、

 ・・・③
または
以外に実数解をもつので、
 ・・・④
の判別式:
 ・・・⑤
のときには重解となり、となります。
⑤の
2解をpqとして、解と係数の関係より、
PQの座標をとして、

のとき、④はを解にもち、③は重解をもちます。つまり、このとき、Cで接しています。PQとなるので、となるわけです。
のとき、


とすると、 (複号が±どちらであってもです)
の範囲に極値をもたず、この範囲でより、は単調増加です。
のとき、


とすると、
で割ると、商が,余りはになるので、

ここで、 (とします)とすると、より、
(複号同順)
より、合わせて増減表は以下のようになります。
t


3
×00×
80
増減表より(3次関数の増減を参照)、極値は、のとき極小値のとき極大値のとき極小値0 ......[]


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  1. 2013/11/04(月) 22:31:42|
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東大理系数学'13年前期[6]

東大理系数学'13年前期[6]

座標空間において、xy平面内で不等式により定まる正方形S4つの頂点をABCDとする。正方形Sを、直線BDを軸として回転させてできる立体を,直線ACを軸として回転させてできる立体をとする。
(1) を満たす実数t に対し、平面によるの切り口の面積を求めよ。
(2) の共通部分の体積を求めよ。

解答 以下のように細かく検討していると、とても最後までたどりつけません。正確な論述は難解でも、求積問題としては必ずしも難しい問題ではありません。円錐を母線に平行な平面で切ると切り口は放物線です。実戦的には、対称性を感覚的に見破って計算を進め、答だけでも出しておくようにしましょう。

(1) 正方形Sxy平面内で、に位置する部分と、に位置する部分に分けてを考えます。
(i) まず、に位置する部分について、
BC上の点のy座標をu ()として、Pを通りxy面上で直線BDに垂直な直線は、
 ・・・① (2直線の平行・垂直を参照)
これと直線BDとの交点は、より、
Pを、Qを中心として直線BDに垂直な平面(xy平面との交線は①)内で回転させると、より、
(空間座標を参照) かつ
 (uを消去)


平面 ()で切ると、に位置する部分を考えているのでであって、切り口は、

 () ・・・②
(ii) に位置する部分について、
AD上の点のy座標をu ()として、Pを通りxy平面上で直線BDに垂直な直線は、
 ・・・③
これと直線BDとの交点は、より、
Pを、Qを中心として直線BDに垂直な平面(xy平面との交線は③)内で回転させると、より、
かつ
 (uを消去)


平面 ()で切ると、に位置する部分を考えているので、であって、切り口は、

 () ・・・④
平面によるの切り口は、(平面上で)③と④に囲まれた図形になります。
③とを連立すると、
④とを連立すると、
よって、切り口の面積は、
 (定積分の公式を参照)

......[]
注.要するに、切り口が放物線とわかっていて、積分公式の利用を考えるのであれば、平面で切ったときの放物線の開き具合と、放物線ととの2交点の距離がわかればよいわけです。は、円が直線を切り取る弦の長さとして (円と直線の位置関係を参照),開き具合は、放物線の式をとおき、のときとしてなどとすれば簡単に求められます(2次関数を参照)

(2) とで何が違うか、ということを考えてみます。
xy平面上において、正方形Sと回転軸BDの組み合わせは、正方形Sと回転軸ACの組み合わせと、y軸に関して線対称です。回転のさせ方も同じなので、回転体とは平面即ちyz平面に関して対称です。
(1)では、を、x軸のの部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口を考えました。この部分ととの共通部分を考えるのであれば、対称性から、を、x軸のの部分を通過してx軸に垂直な平面で切った切り口を考える代わりに、を、x軸のの部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口を考えればよいことになります。
また、
xy平面上において、正方形Sと回転軸BDの組み合わせのの部分との部分とは、原点Oに関して点対称です。を、x軸のの部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口は、を、x軸のの部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口をz軸の回りに回転させたものになります。
従って、として、平面によるの切り口は、平面上において、②,④と
y軸に関して対称な、に挟まれた図形になります。とは、より,つまり、において交わります。においては、
となるので、の共通部分を平面で切った切り口は、に挟まれた図形になります。
この面積は、

求める体積は、yz平面に関してと対称なことから、
......[]
注.答案としては、yz平面に関してと対称で、z軸に関して回転すると自身に重なることを断り、あとは計算過程を示す程度で妥協すべきです。


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  1. 2013/03/12(火) 23:11:13|
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東大理系数学'13年前期[5]

東大理系数学'13年前期[5]

次の命題を証明したい。
命題P 次の条件(a)(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)Aが存在する。
(a) Aは連続する3つの自然数の積である。
(b) A10進法で表したとき、1が連続して99回以上現れるところがある。
以下の問いに答えよ。
(1) yを自然数とする。このとき不等式
が成り立つような正の実数xの範囲を求めよ。
(2) 命題Pを証明せよ。

解答 (1)は見かけは仰々しいですが、平凡です。(2)は、ゴタついている(1)の不等式をどう使うのか、ということに悩まされます。

(1) 中辺はと変形できるので、証明すべき不等式の各辺からを引くことにより、


 ・・・①
①の右側の不等号は、自然数yについて、より、において、
 ・・・②
より、つねに成り立ちます。
①の左側の不等号より、
とおくと、より、x2次方程式となる解をもちます。の範囲でとなる条件は、xが、となる解よりも大きくなることです。 (2次方程式の一般論を参照)
よって、②と合わせて、求めるxの範囲は、
 ・・・③
......[]

(2) (1)の不等式を書き換えて、
 ・・・④
中辺は、x整数とすれば、連続3整数の積になっているので、これをAと考えれば、Aは、1が連続して99回以上現れるところがある2つの数の間に挟まれるはずです。つまり、左辺のと右辺のは、ともに1が連続して99回以上現れる数になるはずです。
ところで、「
1が連続して99回以上現れる数」で思い出すのは、東大理系08[5]です。1n個連続して並ぶ整数は、と表されます。199個連続して並ぶ整数は、と表されます。
④の不等式を成り立たせるためには、③を満たすように
xをかなり大きくとれば良いわけですが、1の並びに影響を与えないように、x (mは自然数)の形の大きな数になるようにすると、とすれば良さそうです。9の倍数なので、は自然数です。xが、の連続99個の1に影響を与えないようにするには、とすればよいのですが、
より
より、となるように、例えば、とすれば、③が満たされて、不等式④が成り立ちます。このとき、不等式④の左辺は、
④の右辺は、
よって、不等式④は、
xyともに自然数なので、も自然数で、この不等式より、連続3自然数の積Aには、1が連続して99回現れるところがあります(よりも小さい整数は、以下の整数です)。よって、命題Pが成立します。


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