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早大理工数学'13年[5]

早大理工数学'13[5]

空間内に平面Pがある。空間内の図形Aに対し、Aの各点からPに下ろした垂線とPとの交点の全体を、APへの正射影と呼ぶ。次の問いに答えよ。
(1) 平面Qが平面Pと角θ ()で交わっているとする。すなわち、PQの交線に垂直な平面でPQを切ってできる2直線のなす角がθ であるとする。Q上の長さ1の線分のPへの正射影の長さの最大値と最小値を求めよ。
(2) (1)Qを考える。Q上の1辺の長さが1である正三角形のPへの正射影の面積を求めよ。
(3) 1辺の長さが1である正四面体TPへの正射影はどんな形か。また、の面積の最大値を求めよ。

解答 本問はヒントがついていますが、物議を醸した東大理系'88[2]の再来か、という問題です。(3)早大理工11[5](3)を参照してください。

(1) 平面Pと平面Qの交線をとします。Q上の長さ1の線分の端点のうちの片方が上に来るように線分を平行移動させても一般性を失いません。上に来た端点をA,長さ1の線分の他方の端点をBとします。
Q上で、ABのなす角をφ ()とします。Bからに垂線BHを下ろすと、Bから平面Pに垂線BKを下ろすと、です(三角比を参照)
ABの正射影AKの長さは、三平方の定理より、
より、AKの長さは、のときに最大値1のときに最小値 ......[] をとります。

(2) 1辺の長さが1の正三角形の1頂点が上に来るように正三角形を平行移動させても一般性を失いません。に来た頂点をA,他の2頂点をBCとし、辺AB,辺ACがなす角をαβ とします。αβに重なりができないようにαβ をとれば、より、です。
Bから,平面Pに垂線BHBKを下ろし、Cから,平面Pに垂線CLCMを下ろすと、(1)と同様にして、
Bを通ってに平行な直線と辺ACとの交点をJとし、Jから平面Pに垂線JNを下ろすと、KN // BJ //です。正弦定理より、

正三角形ABCの正射影の面積は、

......[]
別解.直線に垂直な平面で切って考えることもできます。
直線に沿ってx軸をとり、x座標がxのところを通る平面(x軸に垂直)で、1辺の長さ1の正三角形を切ったときの切り口にできる線分の長さをとすると、正三角形の存在範囲がだとして、正三角形の面積は、
となります。(1)より、この線分の正射影の長さはとなるので、正三角形の正射影の面積は、

(3) 正四面体T4頂点をOABCとし、三角形ABCが存在する面を平面Qとします。
Oから平面Pに垂線OHを下ろすとき、直線OHが三角形ABCの周上または内部を通過する場合と通過しない場合があります。
(i) 直線OHが三角形ABCの周上または内部を通過する場合
三角形ABCの正射影を三角形として、Hは三角形の周上または内部の点です。
従って、正四面体
Tの正射影は三角形となります。
このときは、の面積は、
(2)より、となります。
より、の面積の最大値はです。
(ii) 直線OHが三角形ABCの周上または内部を通過しない場合
このとき、Hは三角形の外部の点です。外部の点と言っても、直線と直線に挟まれていて、辺を介して三角形と隣接している領域、三角形と頂点のみを共有している領域など、全部で6つの領域に分かれます。
(a) Hが、三角形と頂点のみを共有している領域にある(半直線上で線分上を除く部分にある場合、半直線上で線分上を除く部分にある場合を含む)場合は、は正三角形OBCの正射影に一致し、正射影の形は三角形です。この場合のの面積の最大値は(i)と同じくです。
Hが、頂点のみ、あるいは、頂点のみを共有している領域にある場合も同様です。
(b) Hが、半直線と半直線に挟まれていて、辺を介して三角形と隣接している領域にある(境界線上は除きます)場合、正射影の形は四角形になります。
三角形ABC(平面Q)と平面Pのなす角は、BCの中点をMとして、三角形ABCと平面PAMを含む平面で切断したときに切り口にできる角です。これをθ とします。直線AMとの交点をLとすると、です。
とすると、三角形
OBCと平面Pの間の角はとなりますが、直線OHが三角形ABCの周上または内部を通過しない、ということは、ということです。三角形OBCと平面のなす角は、鋭角側をとるのであれば、ということになります。
OからAMに垂線OGを下ろすと、Gは三角形ABCの重心で、AGGM21より、

正射影,つまり、四角形の面積は、



 (β は、を満たす角)
よりなので、であれば、となり得ます。よって、の最大値はです。
Hが、三角形と辺を介して隣接している領域、辺を介して隣接している領域にある場合も同様です。
以上より、の形状は三角形または四角形で、その最大値は ......[]


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  1. 2013/03/06(水) 12:50:50|
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早大理工数学'13年[4]

早大理工数学'13[4]

半径1の半円を底面とし、高さが1の半円柱に含まれる立体Rがある。その高さx ()での断面が、次の図のように2つの直角三角形を合わせた形になっている。次の問いに答えよ。
(1) 高さxでのRの断面積を求めよ。
(2) Rの体積を求めよ。必要ならば、積分する際にと置き換えよ。

解答 (1)では立体の形状を追求しないのがコツです。断面積を積分するだけで、早大理工としては、物足りない感じがします。

(1) 右図において、△ABC∽△ACFより、ABACACAF
より、
三平方の定理より、
また、
EO//CFより、BOBCEOCF
......[]

(2) Rの体積Vは、より、
 (定積分と体積を参照)
とおくと、xのとき、t (置換積分を参照)



......[]


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  1. 2013/03/03(日) 21:52:05|
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早大理工数学'13年[3]

早大理工数学'13[3]

とする。次の問いに答えよ。
(1) 実数t に対してとおく。xが実数全体を動くとき、が最大値をもつようなt の範囲を求めよ。またt がその範囲にあるとき、の最大値とそのときのxの値を求めよ。
(2) (1)で求めた最大値をとする。aを定数とし、t の関数を考える。t (1)で求めた範囲を動くとき、の最大値を求めよ。

解答 面倒な微分の計算問題です。慎重に計算しましょう。

(1)  (微分の公式を参照)
は単調増加(関数の増減を参照)で、より、となる値をとります。
(i) のとき、
とすると、
 (対数関数を参照)
よって、においては増加、においては減少。
従って、において最大値をとります。
(ii) のとき、すべての実数xに対しては単調減少。このときは、は最大値をとりません。
以上より、が最大値をもつt の範囲は、 ......[]
の最大値は、 ......[]

(2) ()


とすると、

なので、すべての実数
aに対してこれを満たすt が存在します。
においては増加、においては減少。は、において最大値をとります。求める最大値は、


......[]


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  1. 2013/02/27(水) 12:27:07|
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早大理工数学'13年[2]

早大理工数学'13[2]

複素数と自然数について、複素数を実数を用いて
と表す。次の問いに答えよ。
(1) ()であることを示せ。
(2) すべてのnについてが成り立つ定数pqを求めよ。
(3) どんなnについても5の整数倍でないことを示せ。
(4) ()は実数でないことを示せ。

解答 連立漸化式の問題です。(3)では(2)が、(4)では(1)(3)が、ヒントになっていることに気づく必要があります

(1) のとき、より、
 ・・・①

()
() ・・・②
()
これを繰り返し用いて、
() ( )

(2) ②より、
 ・・・③
よって、 ......[]

(3) 背理法を用いて証明します。
①,②より、
③より、が整数ならも整数なので、帰納的にすべての自然数
nについて、は整数です(数学的帰納法を参照)。また、5の倍数ではありません。
のとき、,・・・,のすべてが
5の倍数でなく、5の倍数と仮定します。kを整数として、とおくことができます。
③より、
これより、
5の倍数となり、仮定と矛盾します。よって、5の倍数とした仮定は誤りで、5の倍数ではありません。
従って、すべての自然数
nについて、5の倍数ではありません。

(4) 背理法を用いて証明します。
は実数ではありません(複素数を参照)
も実数ではありません。
のとき、,・・・,のすべてが実数でなく、が実数、つまり、と仮定します。

(1)より、ですが、のとき、,つまり、となり、(3)の結果と矛盾します。よって、を実数とした仮定は誤りで、は実数ではありません。
従って、すべての自然数
nについて、は実数ではありません。


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  1. 2013/02/27(水) 12:23:58|
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早大理工数学'13年[1]

早大理工数学'13[1]

放物線C ()の焦点Fを通る2直線は互いに直交し、C2で、C2で交わるとする。次の問いに答えよ。
(1) の方程式をと置き、の座標をそれぞれとする。apで表せ。
(2) のとり方によらず一定であることを示せ。

解答 まずは軽く肩慣らし、という放物線の問題です。

C ・・・①
 ・・・②
のとき、x()となり、放物線C2交点をもたなくなるので、題意よりです。
の傾きは,これと垂直な直線の傾きは
(2直線の平行と垂直を参照)Fを通るから、
 ・・・③

(1) ①,②を連立すると、

この2次方程式の解がだから、解と係数の関係より、
......[] ・・・④
また、②より、 ・・・⑤

(2)
 ( )



 ( )
より、 ・・・⑥
①,③を連立すると、

 ・・・⑦
の座標をとして、⑦の2解がだから、解と係数の関係より、
 ・・・⑧
③より、 ・・・⑨
 ( )


 ( )
これと⑥より、
aに依存しないので、のとり方によらず一定になります。


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