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センター2006年数学IIB第4問

センター2006年数学IIB第4問

 平面上の三つのベクトル
   
を満たし、に垂直で、であるとする。
(1) の内積は
   
である。また
   
であり、のなす角はである。
(2) ベクトルで表すと
   
である。
(3) xyを実数とする。ベクトル
   
を満たすための必要十分条件は
   
である。xyが上の範囲を動くとき、は最大値をとり、この最大値をとるときので表すと
   
である。



よって、[アイ][]2



よって、[]3


のなす角は
よって、[オカ]90

とおいて、よりだから、



 

 ・・・① より、だから、


よって、[]3[]3[]2

より、 ・・・②
①を用いて、より、
より、
 ・・・③
よって、[]0[]1[]3[]2


②,③の条件下(領域は右図のような平行四辺形です)yが最大になるのは、のときで、最大値は
このとき、
よって、[]3[]2[]2

上のように計算でやっても良いのですが、という条件から、の終点が2辺とする平行四辺形の頂点になることを考えれば、右図のような図が書けます。
より、への正射影だと考え、より、の方向にx軸,の方向にy軸をとれば、の終点Pの座標はです。
Pの存在範囲は右図斜線部で、などから、(3)もほとんど図を見ているだけで答えることができます。


センター試験の準備は、教科書の基礎事項をしっかりマスターし、ある程度、センター用の練習問題を解いたら、東京出版「センター試験必勝マニュアル 数学IIB(9月頃発売になります)を一通り読んでおきましょう。


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2006/03/04(土) 20:45:12|
  2. センター2006年
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センター2006年数学IIB第3問

センター2006年数学IIB第3問

 abcを相異なる実数とする。数列は等差数列で、最初の3項が順にabcであるとし、数列は等比数列で、最初の3項が順にcabであるとする。
(1) bcaを用いて
   
と表され、等差数列の公差はである。
(2) 等比数列の公比はであるから、の初項から第8項までの和は、aを用いて
  
と表される。
(3) 数列は最初の3項が順にbcaであり、その階差数列が等差数列であるとする。このとき、の公差はであり、の一般項は
   
である。したがって、数列の一般項は、aを用いて
   
と表される。

abc差数だから、 ・・・①
cab比数だから、 ・・・②
(1) ①より、 ・・・③
②に代入すると、
より、
③に代入して、
よって、[アイ][]2[エオ]

差数の公差は、
よって、[カキ][]2

(2) 比数の和の公式より、の初項から第8項までの和
よって、[ケコサ][シス]64

(3)
の公差は、
よって、[]9[]2

差数の公式より、
よって、[]9[チツ]12[]2

差数の公式より、

 
 
よって、[]4[]9[ニヌ]33[ネノ]22


センター試験の準備は、教科書の基礎事項をしっかりマスターし、ある程度、センター用の練習問題を解いたら、東京出版「センター試験必勝マニュアル 数学IIB(9月頃発売になります)を一通り読んでおきましょう。


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  1. 2006/03/03(金) 19:20:39|
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センター2006年数学IIB第2問

センター2006年数学IIB第2問

aを正の実数として、をそれぞれ次の2次関数のグラフとする。
   
   
また、の両方に接する直線をlとする。
(1) におけるの接線の方程式は
   
であり、この直線がに接するのはのときである。
したがって、直線lの方程式は
   
であり、lの接点の座標は
   
である。
(2) の交点をPとすると、Pの座標は
   
である。点Pを通って直線lに平行な直線をmとする。直線mの方程式は
   
である。直線my軸との交点のy座標が正となるようなaの値の範囲はである。
 のとき、の部分と直線mおよびy軸で囲まれた図形の面積Saを用いて
   
と表される。

(1) の方程式を微分すると、
における線の傾は、
におけるの接線は、
整理して、 ・・・①
よって、[]2[]2

①との方程式を連立すると、
整理して、 ・・・②
①とが接するから、②のD0


よって、[]1

従って、lの方程式は、①において、として、 ・・・③
よって、[]2[]1

のとき、②は、

③でとして、
よって、lの接点の座標は、
よって、[カキ]2a[]1[ケコ]4a[]1

(2) の方程式を連立すると、
より、
Pの座標は、
よって、[]1

mの傾きは、③の傾きと等しく2 (2直線の平行・垂を参照)
Pを通る傾き2の直線として、m
整理して、m
よって、[]2[]2[]1

直線my軸との交点のy座標が正だから、
より、
よって、[]1

求める面積は、
 
 
 
 
よって、[]1[]3[]2[ナニ]2a


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2006/03/01(水) 14:40:01|
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センター2006年数学IIB第1問

センター2006年数学IIB第1問

[1] の範囲で関数を考える。
 とおけば
   
であるから、とおくと
   
である。したがって、yの最大値はであり、最小値はである。
 また、aを満たす角度でのとき
   
である。

2倍角の公より、とおく(より、)と、
よって、[]1[]2[]2


 
よって、[]6[]4[]3


より、yの最大値は、のときyの最小値は、のとき1
よって、[キク]11[]1

として、

より、のみ適します。
このとき、
法定より、
 
よって、[]2[]3[]5[]6


[2] 不等式
    ・・・・・・()
が成り立つようなxの値の範囲を求めよう。
(1) 不等式()において、xは対数の底であるから
    かつ 
を満たさなければならない。また
   
である。
(2) 不等式()
のとき
   
のとき
   
と変形できる。したがって、求めるxの値の範囲は
   
である。

(1) x対数の底だから、 かつ
よって、[]0[]1


よって[]3

(2) ()を変形して、
のとき、に注意すると、()は、
 ・・・①
のとき、に注意すると、()は、
 ・・・②
よって、[]2[]5[テト]12

のとき、①より、

より、

と合わせて、
のとき、②より、

より、

と合わせて、

以上より、求めるxの値の範囲は、
よって、[]3[]9[ヌネ]81

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  1. 2006/02/20(月) 22:32:41|
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センター2006年数学IA第4問

センター2006年数学IA第4問

 袋ABCDがあり、それぞれに4枚のカードが入っている。各袋のカードには、1から4までの番号がつけられている。袋ABCDからカードを1枚ずつ取り出し、出た数をそれぞれabcdとする。
(1) abcdの最大の数が3以下である場合は通りあり、最大の数が4である場合は通りある。
(2) abcdについて、となる場合は通りある。
(3) 出た数abcdによって、次のように得点を定める。
   のときは、
   それ以外のときは、0
 (i) 得点が1点となる確率はであり、得点が4点となる確率はである。
 (ii) 得点の期待値は点である。

(1) 最大の数が3以下であるのは、各袋から取り出される数が、1か、2か、33通りのどれかに限られるときです。
各袋3通りずつで、各袋のどの1通りについても、他の袋は3通りのどの数もあり得ます。
abcdの最大の数が3以下となる場合は、通り(合のを参照)
よって、[アイ]81
4つの袋から出る数の出方は全部で、通り。このうち最大の数が4となるのは、最大の数が3以下の場合の81通りを除いた、通り(合の数の技を参照)
よって、[ウエオ]175

(2) d1から4のどの数であっても、となるのは、abcについて、

のいずれかの場合だから、abcdについて、となる場合は、通り。
よって、[カキ]16

(3)(i) 得点が1点となるのは、のときで、このときより、
これが1から4まで、4通りあります。得点が1点となる確率は、
よって、[]1[ケコ]64

得点が4点となるのは、のときで、このとき、より、です。bcについて、より、

 
 
10通り。得点が4点となる確率は、
よって、[]5[シスセ]128

(ii) 得点が2点となるのは、のときで、adについて、

3通りあります。
例えば、のとき、bcについて、より、

3通りで、3通りのどの1通りについても、3通りがあり得るので、abcdについて、通り。
得点が2点となる確率は、
得点が3点となるのは、のときで、adについて、

2通りあります。
例えば、のとき、bcについて、より、

6通りで、2通りの各々についても、6通りがあり得るので、abcdについて、通り。
得点が3点となる確率は、
得点のは、

よって、[ソタ]49[チツテ]128

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  1. 2006/02/14(火) 21:11:26|
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