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早大理工数学20年[1]

早大理工数学'20[1]

複素数αβγかつを満たすとき、以下の問に答えよ。
(1) αβγを表す複素平面上の点が正三角形をなすことを示せ。
(2) の値を求めよ。
(3) n3で割り切れない自然数とするときの値を求めよ

解答 という条件は、αβγが表す点が単位円上にあることを示しています。は、3αβγでできる三角形の重心が原点であることを示しています。

(1) 対称性により各辺の垂直二等分線が原点を通ることから、三角形の外心も原点になります。重心と外心が一致する三角形は正三角形、と言えますが、ここでは、計算でやってみます。

3辺の長さを調べてみます。
 ・・・①
をどこかからひねり出す必要がありますが、より、,よって、

①より、
同様に、より、より、
よって、3辺の長さが等しく、αβγが表す3点で正三角形をなすことになります。

(2) αβγが表す3点が、この順に反時計回りに並んでいるとして一般性を失いません。
(1)より、として、ですが、βαを原点の回りに回転させた点、γαを原点の回りに回転させた点で、
と表されます。
よって、 ......[]

(3) n3で割り切れない自然数であることから、として、とおくと、より、より、なので、
のとき、
のとき、
よって、
......[]



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  1. 2020/10/12(月) 20:49:34|
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早大理工数学'12年[5]

早大理工数学'12[5]

xy平面上に2ABをとる。をみたす平面上の点Pの全体と点ABからなる図形をFとする。次の問いに答えよ。
(1) Fを図示せよ。
(2) Fx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。

解答 (1)の結果は見えているので、論証することがテーマです。

(1) のとき、点Pの全体は線分ABです。
として、のとき、円周角の定理より、点Pの全体は円の一部です。円をCとします。まず、点Pの部分にある場合を考えます。
この円の半径を
r,円の中心をDとすると、対称性からDy軸上の点(のときにはの部分にあり、のときには原点Oのときにはの部分にあります)です。
右図より、
Dy座標は (正負はの正負と一致します)
Cの方程式は、
 (円の方程式を参照)
Cは、2ABを通るので、のとき、当然、です。のとき、
()の場合を除いて、の場合も含めてより、
以上より、のとき、 ∴
,点Pの全体は、を中心とする半径の円から内側です。
Pの部分にある場合、上記で、円Cの半径はのままですが、中心のy座標がとなり、円Cの方程式は、

のとき、より、 ∴ ,点Pの全体は、を中心とする半径の円から内側です。
以上より、
Fを図示する(不等式の表す領域を参照)と右図黄緑色着色部(境界線を含む)
注.結論は見えているので、上記でのときの円だけを考え、のときの点Pはその円の内側に来ることを示す、という方針も考えられます。

(2) Fx軸に関して対称な図形です。Fx軸のまわりに1回転して得られる立体は、Fの境界線x軸のまわりに1回転して得られる立体で、yについて解くと、
となることから、求める体積Vは、の部分をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積から、の部分をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を除いて2倍したものです(x軸のまわりの回転体を参照)

 (置換積分2を参照)

......[
]

(1)の別解.をみたすxy平面上の点Pの座標をとします。
余弦定理より、
 ( )
これより、



ここで、
を、素直に展開してしまうと、

 ・・・①
ここで行き詰まってしまいます。
結論は見えているので、結論の方から考えます。点
PFの境界線となりそうなのとき、円周角の定理から、点Pの全体は円の一部となります。この円は、2ABを通るので、その半径は,中心は、点Px軸から上にあるときには,点Px軸から下にあるときにはで、円の方程式は、

となり、①の左辺を因数分解すると、
という形が出てくることが予想できます。これを展開してみると、


となって、①の左辺に一致します。
従って、①より、
よって、
かつ
または、
かつ
これより、図形Fは、
(から内側)
または
かつ (から内側、かつ、円から外側)
または、
かつ (から外側、かつ、円から内側)
となります。


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  1. 2012/02/22(水) 02:22:55|
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  1. 2010/07/18(日) 05:28:14|
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  1. 2009/08/24(月) 19:58:25|
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京大理系数学'09年甲[2]検討

京大理系数学'09年甲[2]検討

[2](解答はこちら) 問題文が一見複雑そうに見えるのですが、題意さえしっかりとれれば、一本道の問題で、準備のできている受験生であれば、試験会場でも手が止まることなく最終解答にたどりついただろうと思います。
使われている基本事項は、対称移動、
3倍角の公式に、誰でも知っている三角形の面積の公式で、解法的にも、2つの三角形の面積の比を正整数として、正弦の絶対値が1以下という条件で正整数の値を探せばよい、という整数問題としてももっとも単純なタイプです。
仮に
3倍角の公式を覚えていないとしても、

とすれば、試験会場でも即座に導き出せるでしょう。
この問題では、
q は三角形の内角なのでは明らかですが、の符号は正負ともあり得て、として絶対値をつけるところだけ注意する必要があります。
京都大学を来年目指そうという方
(に限らず難関大学を目指す方)は、まずは、夏頃までに、全分野にわたって、このレベルの問題を必ず解けるように努力してください。他大学においても、このレベルの問題で確実に加点できていれば、これ以上の難問については3題に1題くらいができていれば充分に合格ラインに届きます。難問のうちで自分の得意とする分野の問題をものにできれば良いのです。逆に言うと、このレベルの問題でミスしてしまうと致命傷になってしまうので、標準問題でミスをしないようにトレーニングを積んでおいてください。


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  1. 2009/05/08(金) 05:35:08|
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