平面上の三角形OABを考え、辺ABの中点をMとする。
，
であるようにとる。直線OPにAから下ろした垂線と直線OPの交点をQとする。(1)
と
は平行であることを示せ。(2)
であることを示せ。解答
，
は単位ベクトルです。ちょっと見た目では方針を立てにくそうですが、平面ベクトルの基本に忠実に、
を、
，
の1次結合の形に表すことにより解決できます。Qは直線OP上の点なので、qを実数として、
より、
･･･①
，
は1次独立、つまり、
，
は1次独立なので、s，tを実数として、
･･･②注．
，
とするのでは遠回りになります。点Pには意味がないことに注意してください。①より、
より、
と
のなす角をq として
，
より、
･･･③
･･･④
，
とおくと、
，
と表せます。
より、
ですが、
とすると、
となってしまうので、
です。また、③より、
∴
④より、
と
は平行で、
別解．平面幾何で考える方が容易かも知れません。(1) 
，
とすると、
より、
，とすると、より、
なので、
という条件より、
という条件より、
よって、
，
，
，
より、
つまり、
の二等分線と直線OPは垂直です。題意より、
なので、Aを通りOPに平行な直線と
の二等分線との交点をRとすると、四角形OQARは長方形です。長方形OQARの対角線OAとQRの交点をSとすると、SはOA，QRの中点で、
が
である二等辺三角形であることから、
ORが
の二等分線であることから、
の二等分線であることから、
よって、
より
これより、QRはOAの中点Sを通るのでABの中点Mも通ります。
∴
∴
よりこれより、QRはOAの中点Sを通るのでABの中点Mも通ります。
∴
∴
(2) Aを通りOPに平行な直線と直線OBとの交点をT，Mを通りOPに平行な直線と直線OBとの交点Uとすると、MはABの中点なので、UはBTの中点です。
ORが
の二等分線であることと
であることから、
は
である二等辺三角形です。
の二等分線であることとであることから、はである二等辺三角形です。
と、四辺形OQMUが平行四辺形であることから、
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一定の加速度で加速しながら近づいてくる音源の音は時間とともにどのように変化するか考察してみよう。図のように音源Sは時刻
において距離D離れた点Pを観測者Oに向かって走っており、そのときの速さは
であった。音源から出される音の周波数は
，音速はVであり、音源の速さは音速Vを超えないものとして、以下の問いに答えよ。
で一定であった場合を考えよう。
(
)から時間
の間に音源Sから発射された波の個数はいくらか求めよ。ただし、1波長の波を1個と数えることとする。
において、時刻
で発射された波面と音源との間の距離を求めよ。
)で加速している場合を考える。問1と同様に、音源Sは時刻
において点Pを観測者Oに向かって走っており、その速さは
であった。
(
)から微小時間
の間に音源Sから発射された波の個数はいくらかを求めよ。
において、時刻
に発射された波面と音源Sとの間の距離を求めよ。ただし、加速度aは十分小さく、微小時間
の間に音源の速さは変化しないものとみなす。
に発射された音を観測者Oが聞いた。このとき、観測者Oに聞こえる音の周波数を求めよ。
)で加速している場合を考える。時刻
における音源Sの速さは
，音源Sと観測者Oとの間の距離はDである。
に音源Sから発射された音が観測者Oに届くまでの時間を求めよ。
に(1)で求めた時間を加えたものである。このことを利用して、
を、D，V，
，aおよびtを用いて書き表せ。ただし、時刻tには音源Sはまだ観測者Oを通り過ぎていないものとする。
，a，
およびtで書き表せ。ただし、時刻tには音源Sはまだ観測者Oを通り過ぎていないものとする。
ということは1秒間に
個の波ができるので時間
の間に発射された波の個数は、
個 ......[答]
進むので、時刻
に発射された波面は距離
進みます。音源は速さ
で時間
進むので距離
進みます。波面と音源との間の距離は、
......[答]
の間に出た音が観測者に聞こえる時間は
です。観測者に聞こえる周波数を
として、観測者が観測する波の個数は、
......[答]
個 ......[答]
における音源の速さは、
に発射された波面は距離
進みます。音源は速さ
で時間
に進むので距離
進みます。波面と音源との間の距離は、
......[答]
で、問2では
に入れ替わっています。従って、観測者に聞こえる音の周波数
は、(3)の結果で
として、
......[答]
とします。音源は、初速度0，加速度aの
から時刻
までに距離D進みます。
より、複号は＋の方を採ります。
......[答]
)の音源の速さ
は、
)に発射された音波を観測者が聞くとき、その周波数fは、問1(5)の結果の
をvに入れ替えて、
より
......[答]
に音源は点Pから距離
の位置に来ています。
は、
......[答]
における音源の速さ
は音速Vより小さいので、
......[答]
に音源から発射されたものです。時刻
における音源の速さ
は、(2)の結果より、
は、問1(5)の
を
に入れ替えて、
......[答]
で定義された関数
のとき、
は増加関数であることを示せ。
のとき、
は減少関数であることを示せ。
(
)
(
･･･①
のとき、
(
とおきます)
･･･②
において、
なので
は
は連続な関数です。
のとき、
(
において
です。
，
のとき、
･･･③
，従って、
は増加関数です。
(
とおきます)
より、分子各項の係数は正または0なので、
において分子は正です。よって、
なので、
において、
は単調増加です。また、
は連続な関数です。
のとき、
より
のとき、
です。
，従って、
は減少関数です。
と記す。このとき、条件
，かつ
を満たす整数の対
の個数を
とおく。さらに1からnまでの順列s全体のなす集合をSとする。順列sがS全体を動くとき、
の総和
を求めよ。
の場合、
の場合、･･･、と具体的に調べて行くことになります。問題文がどういうことを言っているのか、ということが把握できてから解答を考えるようにしましょう。
という個数があって、
はその総和だというのですから、少なくとも
は、nに対して定まる数値だ、ということが言えます。そこで、
と書くことにします。
，「条件
，かつ
」を条件Cと表すことにします。
のとき、1と2の2個の数字で順列を作ると、
と
の2通りできます。
では、
，
として
(1番目の数字)，
(2番目の数字)なので、
となり、条件Cは満たされません。
です。
では、
，
として
(1番目の数字)，
(2番目の数字)なので、
となり、条件Cは満たされています。これより、条件Cを満たす整数の対
は
のみで、
です。
は、順列の中で、大小関係がひっくり返っている対の個数を言っているのだ、ということがわかります。また、
です。
のとき、1と2と3の3個の数字で順列を作ると、
，
，
，
，
，
の6通りできます。
では、大小関係がひっくり返っている対はなく、
です。
では、
なので、条件Cを満たす対
は
のみで、
です。
では、
なので、条件Cを満たす対
は
のみで、
です。
では、条件Cを満たす対は
，
で、
です。
では、条件Cを満たす対は
，
で、
です。
では、条件Cを満たす対は
，
，
で、
です。
です。
の場合と
の場合とを比較してみます。
である
と
は、最大の3が末尾に来ているので、
，
のときには条件Cは満たされません。
と
だけを見れば
の場合と同じで、
では
，
では
になります。
である
と
は、最大の3が2番目に来ているので、
が1であっても2であっても
となり、
という対では条件Cが満たされます。
と
だけを見れば
の場合と同じで、
の分だけ1個増えて、
では
，
では
になります。
である
と
は、最大の3が先頭に来ているので、
，また、
となり、
，
という対では条件Cが満たされます。
と
だけを見れば
の場合と同じで、
と
の分の2個が増えて、
では
，
では
となります。
のとき、順列は24通りできますが、最大の4が何番目に来るかで場合分けして考えると、
のときには、最大の4が末尾に来ていて、
，
のときには条件Cは満たされません。
，
，
だけを見れば
のときと同じで、この場合の
の和は
です。
のとき(6通りの順列があります)には、最大の4が3番目に来ていて、
のいずれについても
となり、
という対では条件Cが満たされます。
，
，
だけを見れば
の場合と同じで、6通りの各順列について
の分だけ1個ずつ増えて、この場合の
の和は
です。
のとき(6通りの順列があります)には、最大の4が2番目に来ていて、
，
となり、
，
という対では必ずCが満たされます。
，
，
だけを見れば
の場合と同じで、6通りの各順列について
，
の分の2個が増えて、この場合の
の和は
です。
のとき(6通りの順列があります)には、最大の4が先頭に来ていて、
，
，
となり、
，
，
という対では条件Cが満たされます。
，
，
だけを見れば
の場合と同じで、6通りの各順列について
，
，
の分の3個が増えて、この場合の
の和は
です。
です。
)の場合について考えることができます。
通りできますが、最大の数字nが第k番目(
)に来る、つまり、
だとすると、
のときには、最大のnが末尾に来ていて、
，
のときには条件Cは満たされません。
，
，･･･，
だけを見れば
のときと同じで、この場合の
の和は
です。
のとき(kの各値について、
通りの順列ができます)には、最大のnが第k番目に来ていて、
，
として
という
個の対では必ず条件Cが満たされます。
～
から
を除くと
のときと同じで、
通りの各順列について
個増えて、この場合の
の和は
です。
(
･･･①
のとき、
，
より、予測は成立します。
のとき、予測が成立するとして、
となる整数nについて、
......[答]
(
)の3つの解をa，b，gとするとき、解と係数の関係を書き、それを証明せよ。
を実数の範囲で因数分解せよ。
とする。
，
，
......[答]
の3つの解がa，b，gのとき、
，
，
の
，
，
が出てくるように、
......[答]
･･･④
･･･⑤
，
，
を3解とする3次方程式は、(1)の結果を用いて、
･･･⑥
と書けるので、3解は
，
，
らしい、ということになりますが、実際に、⑥左辺のt の係数について、
より、
または 
または 
，
，
......[答]