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東大文系数学'13年[3]

東大文系数学'13[3]

abを実数の定数とする。実数xy
をともに満たすとき、の最小値を求めよ。

解答 難問とは言えませんが、慎重な場合分けの考察が必要な問題です。なお、線形計画法を参照してください。

をともに満たす領域Dは右図黄緑着色部(境界線を含む)になります。
なお、
C,直線の交点は、両式を連立して解くことにより、ABです。
より、

 ・・・①
これは、のとき、半径,中心の円です。
のときは、となり、ただ
1点です。zは、ただ1通りの値しかとり得ないので、この場合のzの最小値は、です。
のときは、①を満たすは存在しません。
以下、円①の中心が、
(i)領域Dの外側にある場合、(ii)領域Dの内部にある場合、に分けて考察します。
(i) 円①の中心が、領域Dの外側にある場合
このときは、円①が領域Dと共有点をもつために少なくとも (つまり、)となり、zが小さくなると円①の半径が小さくなることに注意して、円①と領域Dが共有点をもつ条件を考えます。
円の半径が小さくなりすぎると、領域
Dと共有点をもたなくなります。
従って、
zが最小になるとき、円①は領域Dと接するか、領域Dと点A,点Bのみを共有するようになります。
領域
Dのどの部分で接するかにより、場合分けをします。右図に(a)(d)の各状況を図示します。
(a) 円①が、円Cの優弧上の1Pで接する場合
円①の中心は円Cの外側にあり、円①の中心と円Cの中心を結ぶ直線は接点Pを通ります。従って、この場合、Pが優弧上に位置するためには、円①の中心は、直線OA ()から左側かまたは直線OB ()から下側の領域になければなりません。
つまり、は、「かつ
または」を満たします。
zが最小値になるとき、2円は外接するので、2円の中心間距離は2円の半径の和に一致します。よって、
(b) 円①が、線分ABと接する場合
接点をQとして、円①の中心とQを結ぶ半径は線分ABと垂直になるので、円①の中心は、線分AB(直線)の右上であって、線分AB(直線)Aで直交する直線()と、線分AB(直線)Bで直交する直線()にはさまれた領域に存在しなければなりません。
つまり、は、「かつ」を満たします。

zが最小値になるとき、円①の半径は、円①の中心と直線との距離に一致します。よって、

(c) (a)(b)以外で、円①が、領域DAのみを共有する場合
このとき、は、かつを満たします。
zが最小値になるとき、円①はAを通ります。
(d) (a)(b)以外で、円①が、領域DBのみを共有する場合
このとき、は、かつを満たします。
zが最小値になるとき、円①はBを通ります。
(ii) 円①の中心が、領域Dの内部にある場合
このときは、①がただ1を表すときにも、領域Dと共有点をもつので、このときzは最小となり、
以上まとめて、zの最小値は、
かつ「または」のとき、
かつのとき、
かつのとき、
のとき、
かつのとき、
......[]


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  1. 2013/12/02(月) 02:23:30|
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東大文系数学'13年[2]

東大文系数学'13[2]

座標平面上の3
PQA ()
を考える。
(1) 2つの線分の長さの差aによらない定数であることを示し、その値を求めよ。
(2) Qを端点としAを通る半直線と放物線との交点をBとする。点Bから直線へ下ろした垂線と直線との交点をCとする。このとき、線分の長さの和
aによらない定数であることを示し、その値を求めよ。

解答 まともに体当たりすべきか試験場で迷うところですが、悩むくらいなら強行突破した方がよい、という問題です。実質的には二重根号を外すだけの計算問題です。
理系の方は、
放物線双曲線を参照してください。

(1) 素直に計算します。


......[]

(2) (1)も含めて数学Cの知識を使えば計算するまでもないのですが、ここでは素直に計算してみます。
(1)より、なので、
Bx座標をbとするとy座標はです。
()
......[]


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  1. 2013/11/06(水) 09:43:00|
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東大文系数学'13年[1]

東大文系数学'13[1]

関数のグラフをC,原点Oを通る傾きtの直線をとし、CO以外に共有点をもつとする。Cの共有点をOPQとし、の積をとおく。ただし、それら共有点の1つが接点である場合は、OPQのうちの2つが一致して、その接点であるとする。関数の増減を調べ、その極値を求めよ。

解答 極値の計算など、技巧を要する面はありますが、ほとんど考えるところのない、単に面倒な計算問題です。

C ・・・①
 ・・・②
①,②を連立すると、

 ・・・③
または
以外に実数解をもつので、
 ・・・④
の判別式:
 ・・・⑤
のときには重解となり、となります。
⑤の
2解をpqとして、解と係数の関係より、
PQの座標をとして、

のとき、④はを解にもち、③は重解をもちます。つまり、このとき、Cで接しています。PQとなるので、となるわけです。
のとき、


とすると、 (複号が±どちらであってもです)
の範囲に極値をもたず、この範囲でより、は単調増加です。
のとき、


とすると、
で割ると、商が,余りはになるので、

ここで、 (とします)とすると、より、
(複号同順)
より、合わせて増減表は以下のようになります。
t


3
×00×
80
増減表より(3次関数の増減を参照)、極値は、のとき極小値のとき極大値のとき極小値0 ......[]


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  1. 2013/11/04(月) 22:31:42|
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阪大物理'13年[2]

阪大物理'13[2]

1のように、屈折率の平面ガラス上に、一方が平面で他方が半径Rの球面になっている屈折率の平凸レンズをのせ、レンズの真上から波長λの単色光を入射させる。ここでである。これを真上から見ると、平凸レンズの下面で反射した光と平面ガラスの上面で反射した光が干渉して、接点Oを中心とする明暗の輪(リング)が同心円状に形成される。これをニュートンリングと呼ぶ、この現象について以下の問いに答えよ。また、選択肢については正しいものを選択し、その番号を解答欄に記せ。

Ⅰ.平面ガラスと平凸レンズの間が空気の場合を考える。ただし、空気の屈折率は1.0である。ここで、光が、屈折率のより大きな媒質で反射するときは、位相が逆になることに注意せよ。
1 接点Oから平面ガラスに沿って距離rだけ離れた点における、平面と球面の距離hを、rRを用いて現せ。ただし、hRに比べて十分に小さいとし、絶対値が1より十分小さいxに対しては、の近似式を用いよ。
2 接点O付近は、円上に見える。その理由を解答欄に記せ。
3 接点Oからm番目 ()の明輪の半径を、mRλのうちの必要なものを用いて表せ。
4 このニュートンリングを真下から観測した場合、明輪の輪は真上から観測したときと比べてどう見えるか。次のうちの正しいものを選択せよ。
全く同じに見える。
輪の明暗が反転して見える。
ニュートンリングは見えない。

Ⅱ.平面ガラスと平凸レンズの間を、屈折率nの液体で満たす場合を考える。
5 液体の屈折率nがある条件を満たすときに、ニュートンリングは観測できなくなる。その条件を表せ。
6 ニュートンリングが観測される場合、リングの中心Oからm番目の明輪の半径を、mRλnのうちの必要なものを用いて表せ。必要があれば、液体の屈折率nの値によって場合分けをすること。

Ⅲ.液体が残ったまま、図2のように平面ガラスから平凸レンズをゆっくりと持ち上げていく場合を考える。ここで、屈折率はであるとし、平凸レンズの平面ガラスからの高さをdとする。平凸レンズを持ち上げても平面ガラスとの間は常に液体で満たされており、空気は入らない。また、でニュートンリングは観測されていた。
7 平凸レンズをゆっくりと持ち上げ始めると、明暗の輪の半径はなってゆく。
高さdがある条件を満たすときに、ニュートンリングは、平凸レンズを持ち上げる前と同じ形状になる。最初に同じ形状になる高さを2回目に同じ形状になる高さをとする。
8 Rλnのうちの必要なものを用いて表せ。
9 高さdのとき、リングの中心Oからm番目の明輪の半径mRλndのうちの必要なものを用いて表せ。必要があれば、高さdの値によって場合分けをすること。

解答 ニュートン・リングの問題です。自由端の反射か、固定端の反射かをていねいに考えましょう。問9は慎重に考察する必要があります。

Ⅰ.問1 三平方の定理より、
に比べて十分に小さなを無視すると、
......[]
2 接点O付近では、② 暗く ......[] 見えます。
理由は、接点O周辺では、平凸レンズ下面で反射した光と、平面ガラス上面で反射した光が干渉して弱め合うからです。
平凸レンズ下面で反射する光は、屈折率の大きなレンズから屈折率の小さな空気中に進もうとして反射するので自由端の反射をして
位相がずれません。平面ガラス上面で反射する光は、屈折率の小さな空気中から屈折率の大きなガラスに入ろうとして反射するので固定端の反射をして位相πずれます。両反射光は位相πずれているので、経路差波長の整数倍のときに弱めあうことになります。接点O周辺では、経路差はほぼゼロなので弱めあうことになります。
3 平凸レンズ下面で反射する光と平面ガラス上面で反射する光との経路差です。問2と同様に、両光の間には位相差πが存在するので、強め合う条件は、明輪の半径として、
 (m:自然数)
......[]
4 ニュートンリングを下側から観察すると、直接透過する光と、まず平面ガラス上面で反射(固定端の反射で位相πずれる)し、平凸レンズ下面で反射(固定端の反射で位相πずれる)する光とで干渉してニュートンリングを作ります。両光の位相はそろうので、強め合う条件は、 (m:自然数)

となり、真上から観測したときと比べると、輪の明暗が反転します。 ② ......[]

Ⅱ.問5 平凸レンズの屈折率と液体の屈折率が一致する()と、この境界で反射しなくなるので、ニュートンリングは観測できなくなります。また、平面ガラスの屈折率と液体の屈折率が一致する()ときにも、ニュートンリングは観測できなくなります。
......[]
6 のときはⅠと同様に、平凸レンズと液体の境界では自由端の反射、液体と平面ガラスの間では固定端の反射をします。2光の位相差π2光の光路差,強め合う条件は、明輪の半径 (m:自然数)として、
......[]
のとき、平凸レンズと液体の境界では自由端の反射、液体と平面ガラスの間でも自由端の反射をします。2光に位相差はなく、強め合う条件は、
......[]
のとき、平凸レンズと液体の境界では固定端の反射、液体と平面ガラスの間では自由端の反射をします。2項には位相差πがあり、強め合う条件は、
......[]

Ⅲ.問7 このときの光路差,液体と平凸レンズとの境界、平面ガラスとの境界のいずれか一方で自由端の反射、他方で固定端の反射をするので、2光の位相差π,強め合う条件は、明輪の半径として、
() ・・・①
よって、明輪の
半径は小さくなります。② ......[]
8 dを大きくすると、明輪半径が小さくなるので、のときm番目の明輪であったものが、のときには、番目の明輪になります。よって、

......[]
9 問8より、のときには、接点O周辺は弱め合う条件が成立して暗くなります。
のときには、接点O周辺は強め合う条件が成立して明るくなります。
のときには、接点
O周辺で弱め合う条件が成立しない、という点において、Oを中心とする円内がやや明るくなるのですが、リングにはなりません。
のときには、接点
O周辺で強め合う条件が成立しない、という点において、Oを中心とする円内がやや暗くなります。
以上に注意すると、問
7より、明輪の半径r,またmを整数として、強め合う条件は、

 ・・・②
つまり、のとき、より、②を成立させる最小の整数
mです。従って、m番目の明輪の半径は、①でとして、
(m:自然数) ......[]
つまり、のとき、より、②を成立させる最小の整数mです。従って、m番目の明輪の半径は、①でとして、
(m:自然数) ......[]


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  1. 2013/09/30(月) 02:33:49|
  2. 13年物理
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阪大理系数学'13年前期[5]

阪大理系数学'13年前期[5]

n3以上の整数とする。n個の球,・・・・・・,n個の空(から)の箱,・・・・・・,がある。以下のように、,・・・・・・,の順番に、球を箱に1つずつ入れていく。
まず、球を箱,・・・・・・,のどれか
1つに無作為に入れる。次に、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
一般に、について、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか
1つに無作為に入れる。
(1) が入る箱はまたはである。これを証明せよ。
(2) に入る確率を求めよ。

解答 (2)が難問ですが、が箱,箱に入る場合と、箱に入る場合と、それ以外の場合とに分け、それ以外の場合には球と箱が個以下になる場合を考えればよいことに気づければ解答できます。なお、独立試行の確率を参照してください。

(1) は箱,・・・・・・,のどれにも入る可能性があります。 ()を入れ終わったとき、を入れる時点で、が空いていればに入り、空いていなければ、には既にのどれかがに入っています。つまり、を入れ終わった時点でには必ず球が入っています。
従って、を入れる時点で、には必ず球が入っています。ということは、が入る箱はまたはです。
(2) 以下で、箱をで表し、左から順に,・・・の順に並んでいるとします。また、箱にが入ったとき、と表すことにします。
まず、の場合で、に入る確率を考えてみます。
の入れ方について以下の場合が考えられます。
(i) に入れると、が空いているので、に入ります。
 確率
(ii) に入れると、が空いていないので、またはに入ります。
 に入ることはありません。
(iii) に入れると、が空いているので、に入ります。
 (i)と同様に、確率
に入る確率はです。
の場合、に入る確率を考えます。
(i) に入れると、が空いているので、に入ります。
 確率
(ii) に入れると、が空いていないので、のどれかに入ります。この状況は、と読み替えると、のときの状況と同じで、に入る確率はでした。
に入れる確率はなので、このときに入る確率は、
(iii) に入れると、に入ることはありません。
(iv) に入れると、(i)と同様に、に入る確率はです。
に入る確率は、です。
の場合、に入る確率を考えます。
(i) に入れると、が空いているので、に入ります。この確率は
(ii) に入れると、が空いていないので、のどれかに入ります。この状況は、のときと同じで、このときに入る確率は、
(iii) に入れると、に入るのですが、が空いていないので、のどれかに入ります。この状況はのときの状況と同じで、このときに入る確率は、です。
(iv) に入れると、に入ることはありません。
(v) に入れると、(i)と同様に、に入る確率はです。
に入る確率は、です。
以上より、一般の整数
n ()の場合、球を箱に入れる確率はになると予測できます。予測が成り立つことを数学的帰納法で示します。
() のときは上記より成立します。
() のとき、となる整数mについて、球と箱がm個あるときに、球を箱に入れる確率がであると仮定します。
(i) またはに入れると、 ()に入るので、に入れる確率は各々
(ii) ()に入れると、に入れられなくなりますが、このときの状況は、球と箱の個数が ()だったときの状況と同じです。
に入れる確率が,その後の状況の確率は帰納法の仮定よりで、に入れる確率は各々,この場合は、通りあります。
(iii) に入れるときは、に入ることはありません。
よって、球を箱に入れる確率は、
以上より、一般の整数n ()の場合について予測は正しく、求める確率は、 ......[]


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