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早大理工数学20年[1]

早大理工数学'20[1]

複素数αβγかつを満たすとき、以下の問に答えよ。
(1) αβγを表す複素平面上の点が正三角形をなすことを示せ。
(2) の値を求めよ。
(3) n3で割り切れない自然数とするときの値を求めよ

解答 という条件は、αβγが表す点が単位円上にあることを示しています。は、3αβγでできる三角形の重心が原点であることを示しています。

(1) 対称性により各辺の垂直二等分線が原点を通ることから、三角形の外心も原点になります。重心と外心が一致する三角形は正三角形、と言えますが、ここでは、計算でやってみます。

3辺の長さを調べてみます。
 ・・・①
をどこかからひねり出す必要がありますが、より、,よって、

①より、
同様に、より、より、
よって、3辺の長さが等しく、αβγが表す3点で正三角形をなすことになります。

(2) αβγが表す3点が、この順に反時計回りに並んでいるとして一般性を失いません。
(1)より、として、ですが、βαを原点の回りに回転させた点、γαを原点の回りに回転させた点で、
と表されます。
よって、 ......[]

(3) n3で割り切れない自然数であることから、として、とおくと、より、より、なので、
のとき、
のとき、
よって、
......[]



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  1. 2020/10/12(月) 20:49:34|
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東工大数学2019年前期[1]

東工大数学'19年前期[1] 東工大数学'19年前期[1]

(1) とする。座標平面上の点O,点P,点Qに対して、三角形OPQの面積をSとする。ただし、とする。三角形OPQの辺OPOQPQの長さをそれぞれpqrとするとき、不等式
      
 が成り立つことを示せ。また、等号が成立するときのstの値を求めよ。
(2) 四面体ABCDの表面積をT,辺BC,辺CA,辺ABの長さをそれぞれabcとし、辺ADBDCDの長さをそれぞれlmnとする。このとき、不等式
      
 が成り立つことを示せ。また、等号が成立するのは四面体ABCDがどのような四面体のときか。

解答 何らかの技巧を使うようにも見えますが、平凡に、左辺-右辺を整理していくと解決します。(1)では、h は与えられた値で、stが未知数、ということに注意します。
(1)

 
とおくと、なので、

等号成立は、のとき、つまり、 
......[] のとき。
このとき、となり、三角形
OPQは正三角形です。

(2) (1)の三角形OPQは、三角形がどんな三角形であっても、Oを原点、OからPQに垂線を下ろしてx軸とし、x軸と垂直でOを通るようにy軸をとれば、(1)を利用することができます。(1)より、
三角形ABCの面積をとして、 ・・・①
三角形
ACDの面積をとして、 ・・・②
三角形
ABDの面積をとして、 ・・・③
三角形
BCDの面積をとして、 ・・・④
より、①+②+③+④より、
 

等号成立は、①,②,③,④のすべてで等号が成立するときで、このとき、四面体の4つの面がすべて正三角形となり、等号成立は、四面体ABCDが正四面体 ......[] のとき。



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  1. 2020/01/12(日) 14:28:01|
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東大文系数学'13年[3]

東大文系数学'13[3]

abを実数の定数とする。実数xy
をともに満たすとき、の最小値を求めよ。

解答 難問とは言えませんが、慎重な場合分けの考察が必要な問題です。なお、線形計画法を参照してください。

をともに満たす領域Dは右図黄緑着色部(境界線を含む)になります。
なお、
C,直線の交点は、両式を連立して解くことにより、ABです。
より、

 ・・・①
これは、のとき、半径,中心の円です。
のときは、となり、ただ
1点です。zは、ただ1通りの値しかとり得ないので、この場合のzの最小値は、です。
のときは、①を満たすは存在しません。
以下、円①の中心が、
(i)領域Dの外側にある場合、(ii)領域Dの内部にある場合、に分けて考察します。
(i) 円①の中心が、領域Dの外側にある場合
このときは、円①が領域Dと共有点をもつために少なくとも (つまり、)となり、zが小さくなると円①の半径が小さくなることに注意して、円①と領域Dが共有点をもつ条件を考えます。
円の半径が小さくなりすぎると、領域
Dと共有点をもたなくなります。
従って、
zが最小になるとき、円①は領域Dと接するか、領域Dと点A,点Bのみを共有するようになります。
領域
Dのどの部分で接するかにより、場合分けをします。右図に(a)(d)の各状況を図示します。
(a) 円①が、円Cの優弧上の1Pで接する場合
円①の中心は円Cの外側にあり、円①の中心と円Cの中心を結ぶ直線は接点Pを通ります。従って、この場合、Pが優弧上に位置するためには、円①の中心は、直線OA ()から左側かまたは直線OB ()から下側の領域になければなりません。
つまり、は、「かつ
または」を満たします。
zが最小値になるとき、2円は外接するので、2円の中心間距離は2円の半径の和に一致します。よって、
(b) 円①が、線分ABと接する場合
接点をQとして、円①の中心とQを結ぶ半径は線分ABと垂直になるので、円①の中心は、線分AB(直線)の右上であって、線分AB(直線)Aで直交する直線()と、線分AB(直線)Bで直交する直線()にはさまれた領域に存在しなければなりません。
つまり、は、「かつ」を満たします。

zが最小値になるとき、円①の半径は、円①の中心と直線との距離に一致します。よって、

(c) (a)(b)以外で、円①が、領域DAのみを共有する場合
このとき、は、かつを満たします。
zが最小値になるとき、円①はAを通ります。
(d) (a)(b)以外で、円①が、領域DBのみを共有する場合
このとき、は、かつを満たします。
zが最小値になるとき、円①はBを通ります。
(ii) 円①の中心が、領域Dの内部にある場合
このときは、①がただ1を表すときにも、領域Dと共有点をもつので、このときzは最小となり、
以上まとめて、zの最小値は、
かつ「または」のとき、
かつのとき、
かつのとき、
のとき、
かつのとき、
......[]


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  1. 2013/12/02(月) 02:23:30|
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東大文系数学'13年[2]

東大文系数学'13[2]

座標平面上の3
PQA ()
を考える。
(1) 2つの線分の長さの差aによらない定数であることを示し、その値を求めよ。
(2) Qを端点としAを通る半直線と放物線との交点をBとする。点Bから直線へ下ろした垂線と直線との交点をCとする。このとき、線分の長さの和
aによらない定数であることを示し、その値を求めよ。

解答 まともに体当たりすべきか試験場で迷うところですが、悩むくらいなら強行突破した方がよい、という問題です。実質的には二重根号を外すだけの計算問題です。
理系の方は、
放物線双曲線を参照してください。

(1) 素直に計算します。


......[]

(2) (1)も含めて数学Cの知識を使えば計算するまでもないのですが、ここでは素直に計算してみます。
(1)より、なので、
Bx座標をbとするとy座標はです。
()
......[]


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  1. 2013/11/06(水) 09:43:00|
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東大文系数学'13年[1]

東大文系数学'13[1]

関数のグラフをC,原点Oを通る傾きtの直線をとし、CO以外に共有点をもつとする。Cの共有点をOPQとし、の積をとおく。ただし、それら共有点の1つが接点である場合は、OPQのうちの2つが一致して、その接点であるとする。関数の増減を調べ、その極値を求めよ。

解答 極値の計算など、技巧を要する面はありますが、ほとんど考えるところのない、単に面倒な計算問題です。

C ・・・①
 ・・・②
①,②を連立すると、

 ・・・③
または
以外に実数解をもつので、
 ・・・④
の判別式:
 ・・・⑤
のときには重解となり、となります。
⑤の
2解をpqとして、解と係数の関係より、
PQの座標をとして、

のとき、④はを解にもち、③は重解をもちます。つまり、このとき、Cで接しています。PQとなるので、となるわけです。
のとき、


とすると、 (複号が±どちらであってもです)
の範囲に極値をもたず、この範囲でより、は単調増加です。
のとき、


とすると、
で割ると、商が,余りはになるので、

ここで、 (とします)とすると、より、
(複号同順)
より、合わせて増減表は以下のようになります。
t


3
×00×
80
増減表より(3次関数の増減を参照)、極値は、のとき極小値のとき極大値のとき極小値0 ......[]


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